题目
41、填空 关于二维随机变量的分布函数F(x,y)，则lim_(xto+infty,yto+infty)F(x,y)=_cdot(2分)
41、填空 关于二维随机变量的分布函数$F(x,y)$，则$\lim_{x\to+\infty,y\to+\infty}F(x,y)=\_\cdot$
(2分)
题目解答
答案
要确定二维随机变量的分布函数 $ F(x, y) $ 当 $ x $ 和 $ y $ 都趋于无穷大时的极限，我们需要理解分布函数的定义和性质。二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数 $ F(x, y) $ 定义为：
\[ F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y) \]
这个函数表示随机变量 $ X $ 小于或等于 $ x $ 且随机变量 $ Y $ 小于或等于 $ y $ 的概率。
当 $ x $ 和 $ y $ 都趋于无穷大时，事件 $ X \leq x $ 和 $ Y \leq y $ 变为必然事件，因为对于任何有限的随机变量 $ X $ 和 $ Y $，总存在一个足够大的 $ x $ 和 $ y $ 使得 $ X \leq x $ 和 $ Y \leq y $ 成立。因此，概率 $ P(X \leq x, Y \leq y) $ 趋于 1。
数学上，这可以表示为：
\[ \lim_{x \to +\infty, y \to +\infty} F(x, y) = \lim_{x \to +\infty, y \to +\infty} P(X \leq x, Y \leq y) = P(X \leq +\infty, Y \leq +\infty) = 1 \]
因此，答案是：
\[
\boxed{1}
\]
解析
本题考查二维随机变量分布函数的性质。解题思路是依据二维随机变量分布函数的定义，分析当自变量 $x$ 和 $y$ 都趋于正无穷时，所对应的事件的性质，进而得出该事件发生的概率。
- 首先明确二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数 $F(x, y)$ 的定义为：$F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y)$，它表示随机变量 $X$ 小于或等于 $x$ 且随机变量 $Y$ 小于或等于 $y$ 这一事件发生的概率。
- 然后考虑当 $x \to +\infty$ 且 $y \to +\infty$ 时，事件 $X \leq x$ 和 $Y \leq y$ 就变成了必然事件。因为对于任意有限的随机变量 $X$ 和 $Y$，必然存在足够大的 $x$ 和 $y$ 使得 $X \leq x$ 和 $Y \leq y$ 成立。
- 根据概率的基本性质，必然事件发生的概率为 $1$。所以，$\lim_{x \to +\infty, y \to +\infty} F(x, y) = \lim_{x \to +\infty, y \to +\infty} P(X \leq x, Y \leq y) = P(X \leq +\infty, Y \leq +\infty) = 1$。