[题目]质点沿直线运动,速度 =(t)^3+3(t)^2+2(mcdot (s)^n-|||-1),如果当 t=2s 时, =4m, 求 =3s 时质点的位置、速-|||-度和加速度.

考查要点：本题主要考查变加速直线运动中速度、加速度与位移的关系，涉及积分与导数的应用。

解题思路：

1. 加速度：对速度函数求导得到加速度函数，再代入时间求值。
2. 位移：对速度函数积分得到位移函数，利用初始条件确定积分常数，最后代入时间计算位移。
3. 速度：直接代入时间到速度函数中。

关键点：

• 积分求位移时需注意积分常数的确定。
• 导数求加速度时注意幂函数的求导规则。

1. 求加速度

加速度是速度对时间的导数：
$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 3t^2 + 2) = 3t^2 + 6t$
当 $t=3$ 时：
$a(3) = 3 \cdot 3^2 + 6 \cdot 3 = 27 + 18 = 45 \, \text{m/s}^2$

2. 求位移

位移是速度的积分，积分结果为：
$x(t) = \int (t^3 + 3t^2 + 2) \, dt = \frac{1}{4}t^4 + t^3 + 2t + C$
利用初始条件 $t=2$ 时 $x=4$：
$4 = \frac{1}{4} \cdot 2^4 + 2^3 + 2 \cdot 2 + C \implies 4 = 4 + 8 + 4 + C \implies C = -12$
因此位移函数为：
$x(t) = \frac{1}{4}t^4 + t^3 + 2t - 12$
当 $t=3$ 时：
$x(3) = \frac{1}{4} \cdot 3^4 + 3^3 + 2 \cdot 3 - 12 = \frac{81}{4} + 27 + 6 - 12 = \frac{165}{4} \, \text{m}$

3. 求速度

直接代入 $t=3$ 到速度函数：
$v(3) = 3^3 + 3 \cdot 3^2 + 2 = 27 + 27 + 2 = 56 \, \text{m/s}$