设L为 ^2+(y)^2=(a)^2 在第一象限内的部份,则 int (e)^sqrt ({x^2+{y)^2}}ds=. ()-|||-A dfrac (pi )(2)a(e)^a-|||-B πa^2e^a-|||-C dfrac (pi )(3)a(e)^a-|||-D )π/4a^2e^a

本题考查对弧长的曲线积分计算，关键在于利用曲线方程简化被积函数，并选择合适的参数方程计算积分。

步骤1：简化被积函数

曲线 $L$ 为 $x^2 + y^2 = a^2$ 在第一象限的部分，故 $\sqrtsqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{a^2} = a$（因 $a>0$），被积函数简化为 $e^a$。

步骤2：参数化曲线 $L$

第一象限的圆周可参数化为：
$x = a \cos t$，$y a \sin t$，其中 $t \in [0, \frac{\pi}{2}] \pi}$。
弧长元素 $ds$ 的计算公式为：
$ds \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt$。
计算导数：
$dx/dt = -a \sin t$，$dy/dt = a \cos t$，
故 $ds \sqrt{(-a \sin t)^2 + (a \cos t)^2} dt = a dt$。

步骤3：计算积分

代入参数方程和 $ds$：
$\int_L e^{\sqrt{x^2 y^2}} ds = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^a \cdot a dt$
提取常数 $a e^a$：
$a e^a \int_0^{\frac{\pi}{2}} dt = a e^a \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} a e^a$