题目
(iint )_(0)^2d=dfrac (2)(3) , 其中(iint )_(0)^2d=dfrac (2)(3) 是由三个坐标平面及平面 (iint )_(0)^2d=dfrac (2)(3)所围成闭区域. 这个三重积分计算对吗?A. 对B. 错
, 其中
是由三个坐标平面及平面 
所围成闭区域. 这个三重积分计算对吗?
A. 对
B. 错
题目解答
答案
首先，我们需要确定闭区域的边界。由题意知，是由三个坐标平面
以及平面所围成的闭区域。
为了计算三重积分
，我们可以使用三重积分的直角坐标计算方法。首先，确定在x, y, z轴上的投影范围。由于是由坐标平面和平面围成的，所以投影到xy平面上，其范围是
。
然后，对于每一个
，z的取值范围是
。
因此，三重积分可以表示为
首先计算关于z的定积分：
然后，将上述结果代入到关于y的定积分中：
计算上述关于y的定积分，得到：
最后，将上述结果代入到关于x的定积分中：
因此，
，与题目中给出的
不符。
故选：B. 错。
解析
步骤 1：确定积分区域
由题意知，积分区域是由三个坐标平面$z=0,y=0,z=0$以及平面$x+y+z=2$所围成的闭区域。投影到xy平面上，其范围是$x\geqslant 0,y\geqslant 0$且$x+y\leqslant 2$。对于每一个$(x,y)$，$z$的取值范围是$0\leqslant z\leqslant 2-x-y$。
步骤 2：计算三重积分
三重积分可以表示为：
${\iiint }_{\Omega }zdV={\int }_{0}^{2}{\int }_{0}^{2-x}{\int }_{0}^{2-x-y}zdzdydx$
步骤 3：计算关于z的定积分
$\int_{0}^{2-x-y}zdz=\left.\frac{1}{2}z^{2}\right|_{0}^{2-x-y}=\frac{1}{2}(2-x-y)^{2}$
步骤 4：计算关于y的定积分
$\int_{0}^{2-x}\frac{1}{2}(2-x-y)^{2}dy=\frac{1}{2}\int_{0}^{2-x}(4-4x+x^{2}-4y+2xy+y^{2})dy$
$=\frac{1}{2}\left.\left(4y-4xy+x^{2}y-2y^{2}+xy^{2}+\frac{1}{3}y^{3}\right)\right|_{0}^{2-x}$
$=\frac{1}{2}\left(8-8x+2x^{2}-8+4x-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}x\right)$
$=\frac{1}{3}(2-x)^{2}(2+x)$
步骤 5：计算关于x的定积分
$\int_{0}^{2}\frac{1}{3}(2-x)^{2}(2+x)dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{2}(4-x^{2})(2+x)dx$
$=\frac{1}{3}\int_{0}^{2}(8+4x-2x^{2}-x^{3})dx$
$=\frac{1}{3}\left.\left(8x+2x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}\right)\right|_{0}^{2}$
$=\frac{1}{3}\left(16+8-\frac{16}{3}-4\right)$
$=\frac{8}{3}$
由题意知，积分区域是由三个坐标平面$z=0,y=0,z=0$以及平面$x+y+z=2$所围成的闭区域。投影到xy平面上，其范围是$x\geqslant 0,y\geqslant 0$且$x+y\leqslant 2$。对于每一个$(x,y)$，$z$的取值范围是$0\leqslant z\leqslant 2-x-y$。
步骤 2：计算三重积分
三重积分可以表示为：
${\iiint }_{\Omega }zdV={\int }_{0}^{2}{\int }_{0}^{2-x}{\int }_{0}^{2-x-y}zdzdydx$
步骤 3：计算关于z的定积分
$\int_{0}^{2-x-y}zdz=\left.\frac{1}{2}z^{2}\right|_{0}^{2-x-y}=\frac{1}{2}(2-x-y)^{2}$
步骤 4：计算关于y的定积分
$\int_{0}^{2-x}\frac{1}{2}(2-x-y)^{2}dy=\frac{1}{2}\int_{0}^{2-x}(4-4x+x^{2}-4y+2xy+y^{2})dy$
$=\frac{1}{2}\left.\left(4y-4xy+x^{2}y-2y^{2}+xy^{2}+\frac{1}{3}y^{3}\right)\right|_{0}^{2-x}$
$=\frac{1}{2}\left(8-8x+2x^{2}-8+4x-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}x\right)$
$=\frac{1}{3}(2-x)^{2}(2+x)$
步骤 5：计算关于x的定积分
$\int_{0}^{2}\frac{1}{3}(2-x)^{2}(2+x)dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{2}(4-x^{2})(2+x)dx$
$=\frac{1}{3}\int_{0}^{2}(8+4x-2x^{2}-x^{3})dx$
$=\frac{1}{3}\left.\left(8x+2x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}\right)\right|_{0}^{2}$
$=\frac{1}{3}\left(16+8-\frac{16}{3}-4\right)$
$=\frac{8}{3}$