题目

甲袋中有3个白球、7个黑球，乙袋中有4个白球、6个黑球，今从甲袋中任取两球放入乙袋，然后再从乙袋中任取两球。求：（1）从乙袋中取出两白球的概率;（2）从甲袋中取出两球后再任取两球也都是白球的概率。

甲袋中有3个白球、7个黑球，乙袋中有4个白球、6个黑球，今从甲袋中任取两球放入乙袋，然后再从乙袋中任取两球。求：

（1）从乙袋中取出两白球的概率;

（2）从甲袋中取出两球后再任取两球也都是白球的概率。

题目解答

答案

解：

（1）若甲袋取出两个球均为白球概率为： $\frac{C_3^2}{C_{10}^2}=\frac{1}{15}$

此时乙袋有6黑6白，取出2白球概率为：

$\frac{1}{15}\times\frac{6}{12}\times\frac{5}{11}=\frac{1}{66}$

若甲袋取出两个球均为黑球概率为：

$\frac{C_7^2}{C_{10}^2}=\frac{7}{15}$

此时乙袋有8黑4白，取出2白球概率为：

$\frac{7}{15}\times\frac{4}{12}\times\frac{3}{11}=\frac{7}{165}$

若甲袋取出两个球为一黑一白概率为：

$1-\frac{1}{15}-\frac{7}{15}=\frac{7}{15}$

此时乙袋有7黑5白，取出2白球概率为：

$\frac{7}{15}\times\frac{5}{12}\times\frac{4}{11}=\frac{7}{99}$

故取出白球的概率为： $\frac{1}{66}+\frac{7}{165}+\frac{7}{99}=\frac{127}{990}$

（2）甲袋中取出两球后再任取两球也都是白球可能发生的情况为：

取出1白1黑，0白2黑两种情况

故先取出1白1黑后再取出2白的概率为： $\frac{C_3^1C_7^1}{C_{10}^2}=\frac{7}{15}$

先取出0白2黑后再取出2白的概率为： $\frac{C_7^2}{C_{10}^2}=\frac{7}{15}$

故从甲袋中取出两球后再任取两球也都是白球的概率为： $\frac{C_3^1C_7^1}{C_{10}^2}+\frac{C_7^2}{C_{10}^2}=\frac{7}{15}+\frac{7}{15}=\frac{14}{15}$

故从乙袋中取出两白球的概率是 $\frac{127}{990}$

从甲袋中取出两球后再任取两球也都是白球的概率是 $\frac{14}{15}$

解析

步骤 1：计算从甲袋中取出两白球的概率
从甲袋中取出两白球的概率为：$\dfrac {{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{2}}=\dfrac {1}{15}$
步骤 2：计算从甲袋中取出两黑球的概率
从甲袋中取出两黑球的概率为：$\dfrac {{C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{2}}=\dfrac {7}{15}$
步骤 3：计算从甲袋中取出一白一黑球的概率
从甲袋中取出一白一黑球的概率为：$1-\dfrac {1}{15}-\dfrac {7}{15}=\dfrac {7}{15}$
步骤 4：计算从乙袋中取出两白球的概率
从乙袋中取出两白球的概率为：$\dfrac {1}{15}\times \dfrac {6}{12}\times \dfrac {5}{11}+\dfrac {7}{15}\times \dfrac {4}{12}\times \dfrac {3}{11}+\dfrac {7}{15}\times \dfrac {5}{12}\times \dfrac {4}{11}=\dfrac {127}{990}$
步骤 5：计算从甲袋中取出两球后再任取两球也都是白球的概率
从甲袋中取出两球后再任取两球也都是白球的概率为：$\dfrac {{C}_{3}^{1}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{2}}+\dfrac {{C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{2}}=\dfrac {7}{15}+\dfrac {7}{15}=\dfrac {14}{15}$