题目

3.若a_(12)a_(3i)a_(2k)a_(51)a_(44)是5阶行列式中带“+”的项，则i=____；k=____.

3.若$a_{12}a_{3i}a_{2k}a_{51}a_{44}$是5阶行列式中带“+”的项，则i=____；k=____.

题目解答

答案

5 阶行列式中项 $a_{12}a_{3i}a_{2k}a_{51}a_{44}$ 的列标排列为 $2, k, i, 4, 1$。为使该项带正号，排列的逆序数应为偶数。 分析可能的 $i$ 和 $k$ 值： - 当 $i = 3$，$k = 5$ 时，排列为 $2, 5, 3, 4, 1$，逆序数为 $1 + 3 + 1 + 1 = 6$（偶数），符合条件。 - 当 $i = 5$，$k = 3$ 时，排列为 $2, 3, 5, 4, 1$，逆序数为 $1 + 1 + 2 + 1 = 5$（奇数），不符合条件。 因此，$i = 3$，$k = 5$。 答案：$\boxed{3, 5}$

解析

考查要点：本题主要考查行列式项的符号判断，涉及排列的逆序数计算。
解题核心思路：

  1. 确定列标排列：根据元素的行顺序，提取对应的列标，形成排列。
  2. 计算逆序数：判断排列的逆序数是否为偶数，若为偶数，则项符号为“+”。
    破题关键点：
  • 列标必须唯一且覆盖1到5，排除重复或遗漏。
  • 逆序数计算需准确，注意每个元素后比它小的元素个数。

步骤1：确定列标排列

元素按行顺序排列为：

  • 行1：列2 → $a_{12}$
  • 行2：列$k$ → $a_{2k}$
  • 行3：列$i$ → $a_{3i}$
  • 行4：列4 → $a_{44}$
  • 行5：列1 → $a_{51}$

因此，列标排列为：$2, k, i, 4, 1$。

步骤2：分析可能的$k$和$i$

列标需覆盖1到5且不重复，已用列标为2、4、1，剩余列标为3和5。

  • 情况1：$k=5$，$i=3$ → 排列：$2, 5, 3, 4, 1$
    逆序数计算：

    • 2后有1个小于它的数（1）→ 1
    • 5后有3个小于它的数（3, 4, 1）→ 3
    • 3后有1个小于它的数（1）→ 1
    • 4后有1个小于它的数（1）→ 1
    • 总逆序数：$1+3+1+1=6$（偶数），符号为“+”。

  • 情况2：$k=3$，$i=5$ → 排列：$2, 3, 5, 4, 1$
    逆序数计算：

    • 2后有1个小于它的数（1）→ 1
    • 3后有1个小于它的数（1）→ 1
    • 5后有2个小于它的数（4, 1）→ 2
    • 4后有1个小于它的数（1）→ 1
    • 总逆序数：$1+1+2+1=5$（奇数），符号为“−”，不符合条件。

结论：唯一符合条件的解为$i=3$，$k=5$。