9.4 利用拉氏变换的性质,计算 8[f(t)]:-|||-(1) (t)=t(e)^-3tsin 2t;-|||-(2) (t)=t(int )_(0)^t(e)^-3tsin 2tdt.

步骤 1：计算 $f(t)=t{e}^{-3t}\sin 2t$ 的拉氏变换
根据拉氏变换的性质，我们首先需要知道 $\sin 2t$ 的拉氏变换，然后利用乘以 $t$ 的性质和指数函数的性质来计算 $f(t)$ 的拉氏变换。
步骤 2：计算 $\sin 2t$ 的拉氏变换
$\sin 2t$ 的拉氏变换为 $\dfrac{2}{s^2+4}$。
步骤 3：利用乘以 $t$ 的性质
乘以 $t$ 的性质告诉我们，如果 $F(s)$ 是 $f(t)$ 的拉氏变换，那么 $t f(t)$ 的拉氏变换是 $-F'(s)$。
步骤 4：利用指数函数的性质
指数函数 ${e}^{-3t}$ 的拉氏变换是将 $s$ 替换为 $s+3$。
步骤 5：计算 $f(t)=t{\int }_{0}^{t}{e}^{-3t}\sin 2tdt$ 的拉氏变换
首先计算 ${e}^{-3t}\sin 2t$ 的拉氏变换，然后利用积分的性质和乘以 $t$ 的性质来计算 $f(t)$ 的拉氏变换。
步骤 6：计算 ${e}^{-3t}\sin 2t$ 的拉氏变换
${e}^{-3t}\sin 2t$ 的拉氏变换为 $\dfrac{2}{(s+3)^2+4}$。
步骤 7：利用积分的性质
积分的性质告诉我们，如果 $F(s)$ 是 $f(t)$ 的拉氏变换，那么 ${\int }_{0}^{t}f(t)dt$ 的拉氏变换是 $\dfrac{F(s)}{s}$。
步骤 8：利用乘以 $t$ 的性质
乘以 $t$ 的性质告诉我们，如果 $F(s)$ 是 $f(t)$ 的拉氏变换，那么 $t f(t)$ 的拉氏变换是 $-F'(s)$。