题目
设 a(x), b(x) 为已知的连续函数，C_1, C_2 是任意常数，以下哪种情形可以说 y = C_1 y_1(x)+ C_2 y_2(x) 是所给方程的通解(）。A. y = y_1(x), y = y_2(x) 是方程 y'' + a(x)y'^2 + y = 0 的两个不成比例的解B. y = y_1(x), y = y_2(x) 是方程 y'' + a(x)y' = 0 的解C. y = y_1(x), y = y_2(x) 是方程 y'' + a(x)y' + b(x)y = 0 的两个不成比例的解D. y = y_1(x), y = y_2(x) 是方程 y'' + a(x)y' = 1 的两个不成比例的解
设 $a(x), b(x)$ 为已知的连续函数，$C_1, C_2$ 是任意常数，以下哪种情形可以说 $y = C_1 y_1(x)+ C_2 y_2(x)$ 是所给方程的通解(）。
A. $y = y_1(x), y = y_2(x)$ 是方程 $y'' + a(x)y'^2 + y = 0$ 的两个不成比例的解
B. $y = y_1(x), y = y_2(x)$ 是方程 $y'' + a(x)y' = 0$ 的解
C. $y = y_1(x), y = y_2(x)$ 是方程 $y'' + a(x)y' + b(x)y = 0$ 的两个不成比例的解
D. $y = y_1(x), y = y_2(x)$ 是方程 $y'' + a(x)y' = 1$ 的两个不成比例的解
题目解答
答案
C. $y = y_1(x), y = y_2(x)$ 是方程 $y'' + a(x)y' + b(x)y = 0$ 的两个不成比例的解
解析
步骤 1：分析选项 A
方程 $y'' + a(x)y'^2 + y = 0$ 含有 $y'^2$，是非线性方程。因此，即使 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是方程的两个不成比例的解，也不能保证 $y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$ 是方程的通解。因此，选项 A 不正确。
步骤 2：分析选项 B
方程 $y'' + a(x)y' = 0$ 是线性齐次方程，但题目没有说明 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是线性无关的解。因此，不能保证 $y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$ 是方程的通解。因此，选项 B 不正确。
步骤 3：分析选项 C
方程 $y'' + a(x)y' + b(x)y = 0$ 是线性齐次方程，且题目说明 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是方程的两个不成比例的解，即线性无关的解。因此，$y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$ 是方程的通解。因此，选项 C 正确。
步骤 4：分析选项 D
方程 $y'' + a(x)y' = 1$ 是非齐次方程。因此，即使 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是方程的两个不成比例的解，也不能保证 $y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$ 是方程的通解。因此，选项 D 不正确。
方程 $y'' + a(x)y'^2 + y = 0$ 含有 $y'^2$，是非线性方程。因此，即使 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是方程的两个不成比例的解，也不能保证 $y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$ 是方程的通解。因此，选项 A 不正确。
步骤 2：分析选项 B
方程 $y'' + a(x)y' = 0$ 是线性齐次方程，但题目没有说明 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是线性无关的解。因此，不能保证 $y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$ 是方程的通解。因此，选项 B 不正确。
步骤 3：分析选项 C
方程 $y'' + a(x)y' + b(x)y = 0$ 是线性齐次方程，且题目说明 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是方程的两个不成比例的解，即线性无关的解。因此，$y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$ 是方程的通解。因此，选项 C 正确。
步骤 4：分析选项 D
方程 $y'' + a(x)y' = 1$ 是非齐次方程。因此，即使 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是方程的两个不成比例的解，也不能保证 $y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$ 是方程的通解。因此，选项 D 不正确。