17.设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为P(Y＝－1)＝p，P(Y＝1)＝1－p（0＜p＜1），令Z＝XY。（1）求Z的概率密度；（2）p为何值时，X与Z不相关；（3）X与Z是否相互独立

考查要点：本题主要考查随机变量函数的分布、协方差与不相关性、独立性的判断。
解题思路：

1. 第（1）题：利用随机变量的独立性，将Z分解为Y取-1和1两种情况，分别求出对应的分布函数，再混合得到Z的分布。
2. 第（2）题：通过协方差公式，结合独立变量的期望性质，计算并解方程Cov(X,Z)=0。
3. 第（3）题：通过反证法构造特定事件，验证联合概率是否等于边缘概率的乘积，判断独立性。

第（1）题

关键步骤：

1. 分解Y的取值：Y取-1和1时，Z分别为-X和X。
2. 分段讨论Z的分布：
   • 当z ≤ 0时：Z ≤ z对应Y=-1且-X ≤ z（即X ≥ -z），概率为$p \cdot e^{z}$。
   • 当z > 0时：Z ≤ z对应Y=1且X ≤ z，概率为$(1-p) \cdot (1 - e^{-z})$，加上Y=-1时总成立的概率$p$。
3. 求导得概率密度：对分布函数分段求导，得到Z的概率密度。

第（2）题

关键步骤：

1. 协方差公式：Cov(X,Z) = E[XZ] - E[X]E[Z]。
2. 计算期望：
   • $E[XZ] = E[X^2 Y] = E[X^2]E[Y] = 2(1-2p)$（因X与Y独立）。
   • $E[Z] = E[XY] = E[X]E[Y] = 1-2p$。
3. 解方程：Cov(X,Z) = $1-2p = 0 \Rightarrow p = \frac{1}{2}$。

第（3）题

关键步骤：

1. 反证法假设独立：若X与Z独立，则联合概率应等于边缘概率乘积。
2. 构造事件验证：取事件$X \leq 1$和$Z \leq 1$，计算发现联合概率不等于乘积，矛盾，故不独立。