题目

.int dfrac (x)(sqrt {9-{x)^2}}dx=-|||-A .-sqrt (9-{x)^2}+C-|||-B sqrt (9-{x)^2}+C-|||-c -3sqrt (9-{x)^2}+C-|||-D . sqrt (9-{x)^2}+C

题目解答

答案

解析

本题考查不定积分的计算，解题思路是利用换元积分法来求解。

  1. 设$u = 9 - x^{2}$，对$u$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：
    • $du=(9 - x^{2})^\prime dx=-2x dx$，那么$x dx=-\frac{1}{2}du$。
  2. 将$u = 9 - x^{2}$和$x dx=-\frac{1}{2}du$代入原式$\int\frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}dx$中：
    • 原式$\int\frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{u}}\cdot(-\frac{1}{2})du=-\frac{1}{2}\int u^{-\frac{1}{2}}du$。
  3. 根据不定积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$对$-\frac{1}{2}\int u^{-\frac{1}{2}}du$进行计算：
    • $-\frac{1}{2}\int u^{-\frac{1}{2}}du=-\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C$。
    • 先计算指数$-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$，则$-\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=-\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C$。
    • 化简$-\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=-u^{\frac{1}{2}}+C$。
  4. 把$u = 9 - x^{2}$代回$-u^{\frac{1}{2}}+C$中：
    • 得到$-\sqrt{9 - x^{2}}+C$。