题目
设平面图形是由y=(x)^2、y=x、y=2x所围成的区域.(1)求平面图形的面积；(2)将此平面绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积.
设平面图形是由$y={x}^{2}$、$y=x$、$y=2x$所围成的区域.
$\left(1\right)$求平面图形的面积；
$\left(2\right)$将此平面绕$x$轴旋转一周得到的旋转体的体积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定交点
首先，我们需要确定由$y={x}^{2}$、$y=x$、$y=2x$所围成的区域的边界。为此，我们需要找到这些曲线的交点。
- 曲线$y={x}^{2}$和$y=x$的交点：解方程${x}^{2}=x$，得到$x=0$或$x=1$。因此，交点为$(0,0)$和$(1,1)$。
- 曲线$y={x}^{2}$和$y=2x$的交点：解方程${x}^{2}=2x$，得到$x=0$或$x=2$。因此，交点为$(0,0)$和$(2,4)$。
- 曲线$y=x$和$y=2x$的交点：解方程$x=2x$，得到$x=0$。因此，交点为$(0,0)$。
步骤 2：计算平面图形的面积
根据步骤1中确定的交点，平面图形的面积可以通过积分计算。由于$y=x$和$y=2x$在$x=0$到$x=1$之间，而$y={x}^{2}$在$x=1$到$x=2$之间，因此面积$S$可以分为两部分计算：
- 第一部分：$y=x$和$y={x}^{2}$之间的面积，从$x=0$到$x=1$。
- 第二部分：$y=2x$和$y={x}^{2}$之间的面积，从$x=1$到$x=2$。
$S=\int_{0}^{1}(x-x^{2})dx+\int_{1}^{2}(2x-x^{2})dx$
$=\left[\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1}+\left[x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{1}^{2}$
$=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(4-\frac{8}{3}\right)-\left(1-\frac{1}{3}\right)$
$=\frac{1}{6}+\frac{4}{3}-\frac{2}{3}$
$=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}$
$=\frac{1}{6}+\frac{4}{6}$
$=\frac{5}{6}$
步骤 3：计算旋转体的体积
将平面图形绕$x$轴旋转一周得到的旋转体的体积可以通过积分计算。体积$V$可以分为两部分计算：
- 第一部分：$y=x$和$y={x}^{2}$之间的体积，从$x=0$到$x=1$。
- 第二部分：$y=2x$和$y={x}^{2}$之间的体积，从$x=1$到$x=2$。
$V=\pi\int_{0}^{1}(x^{2}-x^{4})dx+\pi\int_{1}^{2}(4x^{2}-x^{4})dx$
$=\pi\left[\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{5}x^{5}\right]_{0}^{1}+\pi\left[\frac{4}{3}x^{3}-\frac{1}{5}x^{5}\right]_{1}^{2}$
$=\pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\pi\left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right)-\pi\left(\frac{4}{3}-\frac{1}{5}\right)$
$=\pi\left(\frac{2}{15}\right)+\pi\left(\frac{160}{15}-\frac{32}{15}\right)-\pi\left(\frac{17}{15}\right)$
$=\pi\left(\frac{2}{15}+\frac{128}{15}-\frac{17}{15}\right)$
$=\pi\left(\frac{113}{15}\right)$
$=\frac{113}{15}\pi$
首先，我们需要确定由$y={x}^{2}$、$y=x$、$y=2x$所围成的区域的边界。为此，我们需要找到这些曲线的交点。
- 曲线$y={x}^{2}$和$y=x$的交点：解方程${x}^{2}=x$，得到$x=0$或$x=1$。因此，交点为$(0,0)$和$(1,1)$。
- 曲线$y={x}^{2}$和$y=2x$的交点：解方程${x}^{2}=2x$，得到$x=0$或$x=2$。因此，交点为$(0,0)$和$(2,4)$。
- 曲线$y=x$和$y=2x$的交点：解方程$x=2x$，得到$x=0$。因此，交点为$(0,0)$。
步骤 2：计算平面图形的面积
根据步骤1中确定的交点，平面图形的面积可以通过积分计算。由于$y=x$和$y=2x$在$x=0$到$x=1$之间，而$y={x}^{2}$在$x=1$到$x=2$之间，因此面积$S$可以分为两部分计算：
- 第一部分：$y=x$和$y={x}^{2}$之间的面积，从$x=0$到$x=1$。
- 第二部分：$y=2x$和$y={x}^{2}$之间的面积，从$x=1$到$x=2$。
$S=\int_{0}^{1}(x-x^{2})dx+\int_{1}^{2}(2x-x^{2})dx$
$=\left[\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1}+\left[x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{1}^{2}$
$=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(4-\frac{8}{3}\right)-\left(1-\frac{1}{3}\right)$
$=\frac{1}{6}+\frac{4}{3}-\frac{2}{3}$
$=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}$
$=\frac{1}{6}+\frac{4}{6}$
$=\frac{5}{6}$
步骤 3：计算旋转体的体积
将平面图形绕$x$轴旋转一周得到的旋转体的体积可以通过积分计算。体积$V$可以分为两部分计算：
- 第一部分：$y=x$和$y={x}^{2}$之间的体积，从$x=0$到$x=1$。
- 第二部分：$y=2x$和$y={x}^{2}$之间的体积，从$x=1$到$x=2$。
$V=\pi\int_{0}^{1}(x^{2}-x^{4})dx+\pi\int_{1}^{2}(4x^{2}-x^{4})dx$
$=\pi\left[\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{5}x^{5}\right]_{0}^{1}+\pi\left[\frac{4}{3}x^{3}-\frac{1}{5}x^{5}\right]_{1}^{2}$
$=\pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\pi\left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right)-\pi\left(\frac{4}{3}-\frac{1}{5}\right)$
$=\pi\left(\frac{2}{15}\right)+\pi\left(\frac{160}{15}-\frac{32}{15}\right)-\pi\left(\frac{17}{15}\right)$
$=\pi\left(\frac{2}{15}+\frac{128}{15}-\frac{17}{15}\right)$
$=\pi\left(\frac{113}{15}\right)$
$=\frac{113}{15}\pi$