题目
20.设A=E-(3)/(a^T)aaa^T，其中E是n阶单位矩阵，a=[a_(1),a_(2),...,a_(n)]^T≠0.(1)计算A^2，并求A^-1;(2)验证a是A的特征向量，并求A的对应于a的特征值.
20.设$A=E-\frac{3}{a^{T}a}aa^{T}$，其中E是n阶单位矩阵，$a=[a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}]^{T}≠0$.
(1)计算$A^{2}$，并求$A^{-1}$;
(2)验证a是A的特征向量，并求A的对应于a的特征值.
题目解答
答案
(1) **计算 $ A^2 $：**
\[
A = E - \frac{3}{a^T a} a a^T \implies A^2 = E + \frac{3}{a^T a} a a^T = 2E - A
\]
**求 $ A^{-1} $：**
由 $ A^2 = 2E - A $，得 $ A(2E - A) = E $，故
\[
A^{-1} = 2E - A = E + \frac{3}{a^T a} a a^T
\]
(2) **特征向量与特征值：**
计算 $ Aa $：
\[
Aa = a - \frac{3}{a^T a} a (a^T a) = a - 3a = -2a
\]
故 $ a $ 是 $ A $ 的特征向量，对应特征值为 $-2$。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
(1) & A^2 = E + \frac{3}{a^T a} a a^T, \quad A^{-1} = E + \frac{3}{a^T a} a a^T \\
& \text{或} \quad A^2 = 2E - A, \quad A^{-1} = 2E - A \\
(2) & \text{$ a $ 是 $ A $ 的特征向量，对应的特征值为 $-2$}
\end{array}
}
\]