5.粒子在一维无限深势阱中运动,已知势阱宽度为a,下图为该粒子处于某一能态上的波-|||-函数y(x)的曲线,则该粒子出现概率最大的位置为[]-|||-(A)0, dfrac (a)(2) ,a φ(x)-|||-(B) dfrac (a)(4) , dfrac (3a)(4) 0 a/2 /a x-|||-(C)0, dfrac (a)(4) , dfrac (a)(2) , dfrac (3a)(4) ,a-|||-(D)条件不足,无法确定。

考查要点：本题主要考查学生对一维无限深势阱中粒子波函数性质的理解，特别是概率密度最大值的位置与量子数n的关系。

解题核心思路：

1. 波函数与概率密度的关系：粒子出现概率最大的位置对应波函数绝对值平方（概率密度）的最大值点。
2. 波函数形式：无限深势阱中，波函数为$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)$，其中$n$为量子数。
3. 极值点分析：通过波函数的极值点位置（导数为零的点）确定概率密度最大值的位置。

破题关键点：

• 根据波函数图像判断对应的量子数$n$，进而确定概率密度最大值的位置。
• n=2时，波函数在$x=\frac{a}{4}$和$x=\frac{3a}{4}$处达到极大值，对应选项B。

波函数与概率密度的关系

概率密度为$|\psi(x)|^2$，其最大值对应波函数的极大值点。对于无限深势阱，波函数形式为：
$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right).$

量子数n对极值点的影响

• n=1：波函数为$\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)$，极大值在$x=\frac{a}{2}$。
• n=2：波函数为$\sin\left(\frac{2\pi x}{a}\right)$，极大值在$x=\frac{a}{4}$和$x=\frac{3a}{4}$。
• n=3：波函数为$\sin\left(\frac{3\pi x}{a}\right)$，极大值在$x=\frac{a}{6}$、$x=\frac{a}{2}$、$x=\frac{5a}{6}$。

题目中波函数的特征

题目中波函数图像在$x=0$和$x=a$处为0，且在$x=\frac{a}{2}$处穿过零点（节点），说明对应n=2的情况。此时概率密度最大值出现在$x=\frac{a}{4}$和$x=\frac{3a}{4}$，对应选项B。