题目
设随机变量X,Y相互独立，已知Xsim U[0,1],Ysim U[0,2]，则P(XA. 3/4B. 1/2C. 3/8D. 1/8
设随机变量$X,Y$相互独立，已知$X\sim U[0,1],Y\sim U[0,2]$，则$P(X< Y)=$（）
A. $3/4$
B. $1/2$
C. $3/8$
D. $1/8$
题目解答
答案
A. $3/4$
解析
步骤 1：确定联合概率密度函数
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $X \sim U[0,1]$，$Y \sim U[0,2]$，则联合概率密度函数为：
\[ f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{2} & 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2 \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \]
步骤 2：计算 $P(X < Y)$
$P(X < Y)$ 可以通过在区域 $x < y$ 上对联合概率密度函数 $f(x,y)$ 积分来计算：
\[ P(X < Y) = \int_{0}^{1} \int_{x}^{2} \frac{1}{2} \, dy \, dx \]
\[ = \int_{0}^{1} \left( \frac{y}{2} \Big|_{x}^{2} \right) \, dx \]
\[ = \int_{0}^{1} \left( \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \right) \, dx \]
\[ = \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{x}{2} \right) \, dx \]
\[ = \left( x - \frac{x^2}{4} \Big|_{0}^{1} \right) \]
\[ = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) - (0 - 0) \]
\[ = \frac{3}{4} \]
步骤 3：几何解释
从几何角度，满足 $x < y$ 的区域面积为矩形面积减去直角三角形面积：
\[ \text{矩形面积} = 2, \quad \text{三角形面积} = \frac{1}{2}, \quad \text{满足条件面积} = \frac{3}{2} \]
\[ P(X < Y) = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \]
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $X \sim U[0,1]$，$Y \sim U[0,2]$，则联合概率密度函数为：
\[ f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{2} & 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2 \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \]
步骤 2：计算 $P(X < Y)$
$P(X < Y)$ 可以通过在区域 $x < y$ 上对联合概率密度函数 $f(x,y)$ 积分来计算：
\[ P(X < Y) = \int_{0}^{1} \int_{x}^{2} \frac{1}{2} \, dy \, dx \]
\[ = \int_{0}^{1} \left( \frac{y}{2} \Big|_{x}^{2} \right) \, dx \]
\[ = \int_{0}^{1} \left( \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \right) \, dx \]
\[ = \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{x}{2} \right) \, dx \]
\[ = \left( x - \frac{x^2}{4} \Big|_{0}^{1} \right) \]
\[ = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) - (0 - 0) \]
\[ = \frac{3}{4} \]
步骤 3：几何解释
从几何角度，满足 $x < y$ 的区域面积为矩形面积减去直角三角形面积：
\[ \text{矩形面积} = 2, \quad \text{三角形面积} = \frac{1}{2}, \quad \text{满足条件面积} = \frac{3}{2} \]
\[ P(X < Y) = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \]