题目

设矩阵https:/img.zuoyebang.cc/zyb_03ea0845c31a32a49a93741932d44056.jpg-1 1-|||-A= 0-|||-0 0 1, 向量https:/img.zuoyebang.cc/zyb_112d33e5881884ee778148ced3c18195.jpg-1 1-|||-A= 0-|||-0 0 1, 若https:/img.zuoyebang.cc/zyb_956a66b92ab22f0627312da560929164.jpg-1 1-|||-A= 0-|||-0 0 1与https:/img.zuoyebang.cc/zyb_5e5bce83bea13a58800b33631d1aeea2.jpg-1 1-|||-A= 0-|||-0 0 1线性相关，则https:/img.zuoyebang.cc/zyb_b190e55170f4adfdccc2cad3115df63f.jpg-1 1-|||-A= 0-|||-0 0 1_____.

设矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1&-1&1 \newline 1 &3&0 \newline 0 &0& 1\newline \end{bmatrix}$ , 向量 $\alpha=(k,1,1)^T$ , 若 $A\alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，则 $k=$ _____.

题目解答

答案

解：矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1&-1&1 \newline 1 &3&0 \newline 0 &0& 1\newline \end{bmatrix}$ , 向量 $\alpha=(k,1,1)^T$ , 则根据矩阵乘法得，

$A\alpha=$ $\begin{bmatrix} 1&-1&1 \newline 1 &3&0 \newline 0 &0& 1\newline \end{bmatrix}$ $\begin{pmatrix} k \newline 1 \newline 1 \newline \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} k\times1-1\times1+1\times1\newline k\times1+3\times1+0\times1 \newline 0\times k+0\times1+1\times1 \newline \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k \newline k+3 \newline 1\newline \end{pmatrix}$ 因为 $A\alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，则存在不为零的 $k_1、k_2$ ，使得 $k_1(A\alpha)+k_2\alpha=0$ 成立，

即 $A\alpha=-\frac{k_2}{k_1}\alpha$ ,所以 $\frac{A\alpha}{\alpha}=-\frac{k_2}{k_1}$ ,

两个向量成比例，所以对应的分量也成比例，有

$\frac{A\alpha}{\alpha}=\frac{k}{k}=\frac{k+3}{1}=\frac{1}{1}=-\frac{k_2}{k_1}$ ,

所以， $k+3=1,k=-2$ ，

因此，若 $A\alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，则 $k=-2$ .