下列函数中，有界的是（ ）。A. y = arctan x B. y = tan x C. y = (1)/(x) D. y = 2^x

有界函数的定义是存在实数$M>0$，使得对定义域内所有$x$，都有$|f(x)| \leq M$。本题需判断四个选项中哪个函数满足这一条件。

关键思路：

1. 分析每个函数的定义域和值域，判断是否存在无限增长的趋势。
2. 特别关注函数在定义域边界或特殊点（如渐近线）的行为，例如趋近于无穷大或趋于稳定值。
3. 排除无界函数：若函数在某区域无限增大或减小，则为无界。

A. $y = \arctan x$

• 定义域：全体实数$(-\infty, +\infty)$。
• 值域：$\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$。
• 渐进行为：当$x \to \pm\infty$时，$\arctan x$趋近于$\pm\frac{\pi}{2}$，始终被限制在有限区间内。
• 结论：有界，且$M = \frac{\pi}{2}$。

B. $y = \tan x$

• 定义域：$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）。
• 渐进行为：在每个周期内，当$x \to \frac{\pi}{2}^-$时，$\tan x \to +\infty$；当$x \to -\frac{\pi}{2}^+$时，$\tan x \to -\infty$。
• 结论：无界。

C. $y = \frac{1}{x}$

• 定义域：$x \neq 0$。
• 渐进行为：当$x \to 0^+$时，$\frac{1}{x} \to +\infty$；当$x \to 0^-$时，$\frac{1}{x} \to -\infty$。
• 结论：无界。

D. $y = 2^x$

• 定义域：全体实数。
• 渐进行为：当$x \to +\infty$时，$2^x \to +\infty$；当$x \to -\infty$时，$2^x \to 0$。
• 结论：无界（因$x \to +\infty$时函数值无限增大）。