3.求不定积分int x^2lnxdx.

为了求不定积分 $\int x^2 \ln x \, dx$，我们可以使用分部积分法。分部积分法的公式是： \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] 我们需要选择 $u$ 和 $dv$。根据“对数函数、反三角函数、幂函数、三角函数、指数函数”（ remembered by "Liate"）的顺序，我们选择 $u = \ln x$ 和 $dv = x^2 \, dx$。 首先，我们计算 $du$ 和 $v$： \[ du = \frac{1}{x} \, dx \] \[ v = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] 现在，将 $u$， $v$， $du$ 和 $dv$ 代入分部积分公式： \[ \int x^2 \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] 简化积分项： \[ \int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3 \ln x}{3} - \int \frac{x^2}{3} \, dx \] 计算 $\int \frac{x^2}{3} \, dx$: \[ \int \frac{x^2}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int x^2 \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{9} \] 将这个结果代回原式： \[ \int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C \] 其中 $C$ 是积分常数。因此，最终答案是： \[ \boxed{\frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C} \]