设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(min)的概率密度为_(x)(x)= {e)^-dfrac (x{2)},xgt 0 0, .（1）求X的分布函数；（4分）（2）求y的分布律。（3分）

考查要点：本题主要考查概率密度函数与分布函数的关系，以及如何根据随机变量的定义求解分布律。

解题思路：

1. 分布函数求解：根据概率密度函数的分段特性，分情况积分得到分布函数。注意积分区间的选择和分段点的处理。
2. 分布律求解：通过已知的随机变量定义，结合分布函数计算对应事件的概率，进而得到Y的可能取值及其概率。

关键点：

• 分布函数定义：$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$，需分段讨论积分区间。
• 指数分布特性：当$x > 0$时，密度函数为$\frac{1}{2}e^{-x/2}$，积分结果为$1 - e^{-x/2}$。
• 事件概率转换：$Y$的取值由$X$是否超过5决定，需计算$P(X \leq 5)$和$P(X > 5)$。

第（1）题

分布函数求解步骤：

1. 当$x \leq 0$时：
   此时$f_x(x) = 0$，积分结果为：
   $F(x) = \int_{-\infty}^x 0 \, dt = 0$

2. 当$x > 0$时：
   积分从$-\infty$到$x$，但$f_x(t)$在$t \leq 0$时为0，因此：
   $F(x) = \int_{-\infty}^0 0 \, dt + \int_0^x \frac{1}{2}e^{-t/2} \, dt$
   计算第二项积分：
   $\int_0^x \frac{1}{2}e^{-t/2} \, dt = \left[ -e^{-t/2} \right]_0^x = 1 - e^{-x/2}$

结论：
分布函数为分段函数：
$F(x) = \begin{cases}0, & x \leq 0 \\1 - e^{-x/2}, & x > 0\end{cases}$

第（2）题

分布律求解步骤：

1. 计算$P(Y=1)$：
   当$Y=1$时，对应$X \leq 5$，概率为：
   $P(Y=1) = P(X \leq 5) = F(5) = 1 - e^{-5/2}$

2. 计算$P(Y=-1)$：
   当$Y=-1$时，对应$X > 5$，概率为：
   $P(Y=-1) = P(X > 5) = 1 - P(X \leq 5) = e^{-5/2}$

结论：
Y的分布律为：
$P(Y=k) = \begin{cases}1 - e^{-5/2}, & k=1 \\e^{-5/2}, & k=-1\end{cases}$