题目
(2)曲线 =(e)^x 与该曲线过原点的切线和y轴围成的图形的面积为 () .-|||-(A) (int )_(0)^1((e)^x-xe)dx (B) (int )_(0)^e(dfrac (y)(e)-ln y)dy-|||-(C) (int )_(1)^c((e)^x-x(e)^x)dx (D) (int )_(0)^1(dfrac (y)(e)-ln y)dy
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定切线方程
曲线 $y={e}^{x}$ 在点 $(a, {e}^{a})$ 处的切线斜率为 ${e}^{a}$，因此切线方程为 $y-{e}^{a}={e}^{a}(x-a)$。由于切线过原点，代入 $(0,0)$ 得到 $-{e}^{a}={e}^{a}(-a)$，解得 $a=1$。因此切线方程为 $y={e}^{1}(x-1)+{e}^{1}=ex$。
步骤 2：确定积分区间
切线 $y=ex$ 与 $y={e}^{x}$ 的交点为 $(1, e)$，因此积分区间为 $[0, 1]$。
步骤 3：计算面积
面积为 $y={e}^{x}$ 与 $y=ex$ 在区间 $[0, 1]$ 上的积分差，即 ${\int }_{0}^{1}({e}^{x}-ex)dx$。
曲线 $y={e}^{x}$ 在点 $(a, {e}^{a})$ 处的切线斜率为 ${e}^{a}$，因此切线方程为 $y-{e}^{a}={e}^{a}(x-a)$。由于切线过原点，代入 $(0,0)$ 得到 $-{e}^{a}={e}^{a}(-a)$，解得 $a=1$。因此切线方程为 $y={e}^{1}(x-1)+{e}^{1}=ex$。
步骤 2：确定积分区间
切线 $y=ex$ 与 $y={e}^{x}$ 的交点为 $(1, e)$，因此积分区间为 $[0, 1]$。
步骤 3：计算面积
面积为 $y={e}^{x}$ 与 $y=ex$ 在区间 $[0, 1]$ 上的积分差，即 ${\int }_{0}^{1}({e}^{x}-ex)dx$。