题目
[题目]如图所示,质量为M、长为l的匀质直-|||-棒,可绕垂直于棒的一端的水平轴O无摩擦地转-|||-动,它原来静止在平衡位置上。现有一质量为m的-|||-小球以速度v0飞来,正好在棒的下端与棒垂直地相-|||-撞。设碰撞为完全弹性碰撞,求:棒摆动的初始角-|||-速度。-|||-M-|||-?? ○→
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定碰撞前后的动量守恒
在碰撞过程中，由于没有外力作用，系统的总角动量守恒。因此，碰撞前小球的角动量等于碰撞后棒的角动量加上小球的角动量。
步骤 2：计算碰撞前小球的角动量
小球以速度v0飞来，与棒垂直地相撞，因此小球的角动量为：
\[ L_{\text{小球}} = m v_0 l \]
其中，l是小球到轴O的距离，即棒的长度。
步骤 3：计算碰撞后棒的角动量
棒的转动惯量为：
\[ J_{\text{棒}} = \frac{1}{3} M l^2 \]
棒的初始角速度为ω，因此棒的角动量为：
\[ L_{\text{棒}} = J_{\text{棒}} \omega = \frac{1}{3} M l^2 \omega \]
步骤 4：计算碰撞后小球的角动量
由于碰撞是完全弹性碰撞，小球的角动量保持不变，因此碰撞后小球的角动量为：
\[ L_{\text{小球}} = m v_0 l \]
步骤 5：应用角动量守恒定律
根据角动量守恒定律，碰撞前小球的角动量等于碰撞后棒的角动量加上小球的角动量：
\[ m v_0 l = \frac{1}{3} M l^2 \omega + m v_0 l \]
简化得到：
\[ 0 = \frac{1}{3} M l^2 \omega \]
\[ \omega = \frac{3 m v_0}{M l} \]
在碰撞过程中，由于没有外力作用，系统的总角动量守恒。因此，碰撞前小球的角动量等于碰撞后棒的角动量加上小球的角动量。
步骤 2：计算碰撞前小球的角动量
小球以速度v0飞来，与棒垂直地相撞，因此小球的角动量为：
\[ L_{\text{小球}} = m v_0 l \]
其中，l是小球到轴O的距离，即棒的长度。
步骤 3：计算碰撞后棒的角动量
棒的转动惯量为：
\[ J_{\text{棒}} = \frac{1}{3} M l^2 \]
棒的初始角速度为ω，因此棒的角动量为：
\[ L_{\text{棒}} = J_{\text{棒}} \omega = \frac{1}{3} M l^2 \omega \]
步骤 4：计算碰撞后小球的角动量
由于碰撞是完全弹性碰撞，小球的角动量保持不变，因此碰撞后小球的角动量为：
\[ L_{\text{小球}} = m v_0 l \]
步骤 5：应用角动量守恒定律
根据角动量守恒定律，碰撞前小球的角动量等于碰撞后棒的角动量加上小球的角动量：
\[ m v_0 l = \frac{1}{3} M l^2 \omega + m v_0 l \]
简化得到：
\[ 0 = \frac{1}{3} M l^2 \omega \]
\[ \omega = \frac{3 m v_0}{M l} \]