题目

【例7.30】计算：I=iintlimits_(D)|3x+4y|dxdy，其中D:x^2+y^2leqslant 1.

【例7.30】计算：$I=\iint\limits_{D}|3x+4y|dxdy$，其中$D:x^{2}+y^{2}\leqslant 1$.

题目解答

答案

将积分转换为极坐标系，设 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$，积分区域 $D$ 变为 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。被积函数变为： \[ |3x + 4y| = r|3\cos\theta + 4\sin\theta| \] 原积分化为： \[ I = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 |3\cos\theta + 4\sin\theta| \, dr \, d\theta = \frac{1}{3} \int_0^{2\pi} |3\cos\theta + 4\sin\theta| \, d\theta \] 利用三角恒等式，令 $3\cos\theta + 4\sin\theta = 5\sin(\theta + \phi)$，其中 $\sin\phi = \frac{3}{5}$，$\cos\phi = \frac{4}{5}$，则： \[ I = \frac{5}{3} \int_0^{2\pi} |\sin(\theta + \phi)| \, d\theta = \frac{5}{3} \int_0^{2\pi} |\sin\theta| \, d\theta = \frac{5}{3} \times 4 = \frac{20}{3} \] （注：$\int_0^{2\pi} |\sin\theta| \, d\theta = 4$，因 $|\sin\theta|$ 在 $[0, 2\pi]$ 上的积分等于 $4$。） **答案：** $\boxed{\frac{20}{3}}$

解析

考查要点：本题主要考查二重积分在极坐标系下的计算，以及利用三角恒等式简化含绝对值的积分表达式。

解题核心思路：

  1. 极坐标变换：将积分区域转换为极坐标形式，简化积分计算。
  2. 三角恒等式应用：将线性组合的三角函数转化为单一正弦函数，简化绝对值处理。
  3. 周期性积分：利用绝对值函数的周期性，快速计算定积分。

破题关键点：

  • 识别积分区域对称性：圆域$x^2 + y^2 \leq 1$适合用极坐标。
  • 处理绝对值项：通过三角恒等式将$|3\cos\theta + 4\sin\theta|$转化为$|5\sin(\theta + \phi)|$，简化积分。

步骤1：极坐标变换

将积分区域$D: x^2 + y^2 \leq 1$转换为极坐标：

  • $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$
  • 面积元素：$dx\,dy = r\,dr\,d\theta$
  • 积分限：$0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$

被积函数变为：
$|3x + 4y| = |3r\cos\theta + 4r\sin\theta| = r|3\cos\theta + 4\sin\theta|$

原积分转换为：
$I = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 |3\cos\theta + 4\sin\theta| \, dr \, d\theta$

步骤2：计算径向积分

对$r$积分：
$\int_0^1 r^2 \, dr = \frac{1}{3}$
因此：
$I = \frac{1}{3} \int_0^{2\pi} |3\cos\theta + 4\sin\theta| \, d\theta$

步骤3：三角恒等式化简

利用恒等式$3\cos\theta + 4\sin\theta = 5\sin(\theta + \phi)$，其中：
$\sin\phi = \frac{3}{5}, \quad \cos\phi = \frac{4}{5}$
积分变为：
$I = \frac{5}{3} \int_0^{2\pi} |\sin(\theta + \phi)| \, d\theta$

步骤4：周期性积分

由于$|\sin(\theta + \phi)|$的周期为$\pi$，且积分区间为$2\pi$，可得：
$\int_0^{2\pi} |\sin(\theta + \phi)| \, d\theta = 4$
最终结果：
$$
I = \frac{5}{3} \times 4 = \frac{20}{3}



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