题目
古希腊数学家阿波罗尼斯在其著作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义和利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，并探究了许多圆锥曲线的性质．其研究的问题之一是“三线轨迹”问题：给定三条直线，若动点到其中两条直线的距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数，求该点的轨迹．小明打算使用解析几何的方法重新研究此问题，他先将问题特殊化如下：给定三条直线l1：y=(1)/(2)x+(1)/(2)，l2：y=-(1)/(2)x-(1)/(2)，l3：x=1，动点P到直线l1，l2和l3的距离分别为d1，d2和d3，且满足(({d_1)/(d_2))}({d_3^2)}=(1)/(5)，记动点P的轨迹为曲线C．给出下列四个结论：①曲线C关于x轴对称；②曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为((sqrt(2)))/(2)；③平面内存在两个定点，曲线C上有无数个点P到这两个定点的距离之差为sqrt(2)；④d1+d2的最小值为((2sqrt(5)))/(5)．其中所有正确结论的序号是 ____ ．
古希腊数学家阿波罗尼斯在其著作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义和利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，并探究了许多圆锥曲线的性质．其研究的问题之一是“三线轨迹”问题：给定三条直线，若动点到其中两条直线的距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数，求该点的轨迹．
小明打算使用解析几何的方法重新研究此问题，他先将问题特殊化如下：
给定三条直线l1：y=$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，l2：y=-$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$，l3：x=1，动点P到直线l1，l2和l3的距离分别为d1，d2和d3，且满足$\frac{{{d_1}{d_2}}}{{d_3^2}}=\frac{1}{5}$，记动点P的轨迹为曲线C．给出下列四个结论：
①曲线C关于x轴对称；
②曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
③平面内存在两个定点，曲线C上有无数个点P到这两个定点的距离之差为$\sqrt{2}$；
④d1+d2的最小值为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
其中所有正确结论的序号是 ____ ．
小明打算使用解析几何的方法重新研究此问题，他先将问题特殊化如下：
给定三条直线l1：y=$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，l2：y=-$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$，l3：x=1，动点P到直线l1，l2和l3的距离分别为d1，d2和d3，且满足$\frac{{{d_1}{d_2}}}{{d_3^2}}=\frac{1}{5}$，记动点P的轨迹为曲线C．给出下列四个结论：
①曲线C关于x轴对称；
②曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
③平面内存在两个定点，曲线C上有无数个点P到这两个定点的距离之差为$\sqrt{2}$；
④d1+d2的最小值为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
其中所有正确结论的序号是 ____ ．
题目解答
答案
解：直线l1的方程为x-2y+1=0，直线l2的方程为x+2y+1=0，
设点P（x，y），x≠1，则d1=$\frac{|x-2y+1|}{\sqrt{5}}$，d2=$\frac{|x+2y+1|}{\sqrt{5}}$，d3=|x-1|，
所以$\frac{{{d_1}{d_2}}}{{d_3^2}}$=$\frac{|x-2y+1|•|x+2y+1|}{5（x-1）^{2}}$=$\frac{1}{5}$，化简可得|（x+1）2-4y2|=（x-1）2，
对于①，在曲线C上任取一点P（x，y），则点P关于x轴的对称点为P（x，-y），
所以|（x+1）2-4（-y）2|=|（x+1）2-4y2|=（x-1）2，故点P在曲线C上，故①对；
对于②，设点P（x，y），当（ x+1）2≥4y2时，则曲线C的方程可化为（x+1）2-4y2=（x-1）2，可得y2=x，
设坐标原点为O，则|OP|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$==$\sqrt{{x}^{2}+x}$≥0，
且原点坐标满足方程|（x+1）2-4y2|=（x-1）2，此时$\frac{{{d_1}{d_2}}}{{d_3^2}}$=$\frac{1}{5}$有意义，故②错；
对于③，当（x+1）2＜4y2，则曲线C的方程可化为4y2-（x+l）2=（x-1）2，
整理可得$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$-x2=1，取双曲线$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$-x2=1的焦点F1（0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），F2（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
根据双曲线的定义可知，曲线C上有无数个点P，使得||PF1|-|PF2||=2$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，故③对；
对于④，当点P在抛物线y2=x上，且x≠1时，
d1+d2=$\frac{|x-2y+1|+|x+2y+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|{y}^{2}-2y+1|+|{y}^{2}+2y+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2（{y}^{2}+1）}{\sqrt{5}}$≥$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，当且仅当y=0时，等号成立，
当点P在双曲线$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$-x2=1的上支时，则y≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且y=$\sqrt{\frac{1}{2}（{x}^{2}+1）}$且x≠1，
此时d1+d2=$\frac{|x-2y+1|+|x+2y+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|x-\sqrt{2（{x}^{2}+1）}+1|+|x+\sqrt{2（{x}^{2}+1）}+1|}{\sqrt{5}}$，
因为（$\sqrt{2（{x}^{2}+1）}$）2-（x+l）2=（x-1）2＞0，
所以$\sqrt{2（{x}^{2}+1）}$＞x+1且$\sqrt{2（{x}^{2}+1）}$＞-（x+1），
故d1+d2=$\frac{|x-\sqrt{2（{x}^{2}+1）}+1|+|x+\sqrt{2（{x}^{2}+1）}+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2（{x}^{2}+1）}-（x+1）+\sqrt{2（{x}^{2}+1）}+（x+1）}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{2（{x}^{2}+1）}}{\sqrt{5}}$≥$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
当且仅当x=0时，等号成立；
当点P在$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$-x2=1的下支时，同理可求得d1+d2的最小值为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
综上所述，d1+d2的最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故④对．
故答案为：①③④．
设点P（x，y），x≠1，则d1=$\frac{|x-2y+1|}{\sqrt{5}}$，d2=$\frac{|x+2y+1|}{\sqrt{5}}$，d3=|x-1|，
所以$\frac{{{d_1}{d_2}}}{{d_3^2}}$=$\frac{|x-2y+1|•|x+2y+1|}{5（x-1）^{2}}$=$\frac{1}{5}$，化简可得|（x+1）2-4y2|=（x-1）2，
对于①，在曲线C上任取一点P（x，y），则点P关于x轴的对称点为P（x，-y），
所以|（x+1）2-4（-y）2|=|（x+1）2-4y2|=（x-1）2，故点P在曲线C上，故①对；
对于②，设点P（x，y），当（ x+1）2≥4y2时，则曲线C的方程可化为（x+1）2-4y2=（x-1）2，可得y2=x，
设坐标原点为O，则|OP|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$==$\sqrt{{x}^{2}+x}$≥0，
且原点坐标满足方程|（x+1）2-4y2|=（x-1）2，此时$\frac{{{d_1}{d_2}}}{{d_3^2}}$=$\frac{1}{5}$有意义，故②错；
对于③，当（x+1）2＜4y2，则曲线C的方程可化为4y2-（x+l）2=（x-1）2，
整理可得$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$-x2=1，取双曲线$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$-x2=1的焦点F1（0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），F2（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
根据双曲线的定义可知，曲线C上有无数个点P，使得||PF1|-|PF2||=2$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，故③对；
对于④，当点P在抛物线y2=x上，且x≠1时，
d1+d2=$\frac{|x-2y+1|+|x+2y+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|{y}^{2}-2y+1|+|{y}^{2}+2y+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2（{y}^{2}+1）}{\sqrt{5}}$≥$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，当且仅当y=0时，等号成立，
当点P在双曲线$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$-x2=1的上支时，则y≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且y=$\sqrt{\frac{1}{2}（{x}^{2}+1）}$且x≠1，
此时d1+d2=$\frac{|x-2y+1|+|x+2y+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|x-\sqrt{2（{x}^{2}+1）}+1|+|x+\sqrt{2（{x}^{2}+1）}+1|}{\sqrt{5}}$，
因为（$\sqrt{2（{x}^{2}+1）}$）2-（x+l）2=（x-1）2＞0，
所以$\sqrt{2（{x}^{2}+1）}$＞x+1且$\sqrt{2（{x}^{2}+1）}$＞-（x+1），
故d1+d2=$\frac{|x-\sqrt{2（{x}^{2}+1）}+1|+|x+\sqrt{2（{x}^{2}+1）}+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2（{x}^{2}+1）}-（x+1）+\sqrt{2（{x}^{2}+1）}+（x+1）}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{2（{x}^{2}+1）}}{\sqrt{5}}$≥$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
当且仅当x=0时，等号成立；
当点P在$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$-x2=1的下支时，同理可求得d1+d2的最小值为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
综上所述，d1+d2的最小值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故④对．
故答案为：①③④．