题目
利用行列式的性质证明: ((a+1))^2-|||-((a+2))^2-|||-((a+3))^2-|||-((b+1))^2-|||-((b+2))^2-|||-((b+3))^2-|||-((c+1))^2-|||-((c+2))^2-|||-((c+3))^2-|||-((d+1))^2-|||-((d+2))^2-|||-((d+3))^2.
利用行列式的性质证明: 
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题目解答
答案
我们要证明行列式
为了证明这一点，我们可以利用行列式的性质，即如果行列式的某一行（列）可以表示为另一行（列）的线性组合，那么该行列式的值为0。
首先，观察第一列和后三列的关系：
第一列元素为
，而后三列的元素分别为
。我们可以看出后三列的每个元素都可以表示为第一列元素的线性组合，例如：
这意味着第一列和后三列是线性相关的。
因此，根据行列式的性质，如果一个行列式的某一列可以表示为其他列的线性组合，那么这个行列式的值为0。所以，我们得出结论：
这就证明了所给行列式的值为0。
解析
步骤 1：观察行列式结构
观察行列式，我们发现每一行的元素都是一个二次多项式，且每一行的二次多项式都是由前一个元素加上一个线性项得到的。例如，第一行的元素分别是${a}^{2}$，${(a+1)}^{2}$，${(a+2)}^{2}$，${(a+3)}^{2}$，它们可以表示为${a}^{2}$，${a}^{2}+2a+1$，${a}^{2}+4a+4$，${a}^{2}+6a+9$。这表明每一行的元素都是由第一列的元素加上一个线性组合得到的。
步骤 2：利用行列式性质
根据行列式的性质，如果一个行列式的某一行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合，那么这个行列式的值为0。在本题中，每一行的元素都可以表示为第一列元素的线性组合，因此，行列式的值为0。
步骤 3：验证结论
为了验证结论，我们可以将行列式中的每一行都减去第一行的线性组合，这样可以得到一个全为0的行列式，从而证明原行列式的值为0。
观察行列式，我们发现每一行的元素都是一个二次多项式，且每一行的二次多项式都是由前一个元素加上一个线性项得到的。例如，第一行的元素分别是${a}^{2}$，${(a+1)}^{2}$，${(a+2)}^{2}$，${(a+3)}^{2}$，它们可以表示为${a}^{2}$，${a}^{2}+2a+1$，${a}^{2}+4a+4$，${a}^{2}+6a+9$。这表明每一行的元素都是由第一列的元素加上一个线性组合得到的。
步骤 2：利用行列式性质
根据行列式的性质，如果一个行列式的某一行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合，那么这个行列式的值为0。在本题中，每一行的元素都可以表示为第一列元素的线性组合，因此，行列式的值为0。
步骤 3：验证结论
为了验证结论，我们可以将行列式中的每一行都减去第一行的线性组合，这样可以得到一个全为0的行列式，从而证明原行列式的值为0。