题目
1、设f(x)=x^4+x^2+ax+b。g(x)=x^2+x-2，若(f(x),g(x))=g(x)，则a=_____b=____。
1、设$f(x)=x^{4}+x^{2}+ax+b$。$g(x)=x^{2}+x-2$，若(f(x),g(x))=g(x)，则a=_____
b=____。
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要确定 $a$ 和 $b$ 的值，使得多项式 $f(x) = x^4 + x^2 + ax + b$ 能被 $g(x) = x^2 + x - 2$ 整除。这意味着 $g(x)$ 的根也必须是 $f(x)$ 的根。
首先，我们找到 $g(x)$ 的根。我们解方程 $x^2 + x - 2 = 0$：
\[
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) = 0
\]
因此，根是 $x = -2$ 和 $x = 1$。
由于 $g(x)$ 能整除 $f(x)$，$f(x)$ 必须在 $x = -2$ 和 $x = 1$ 处有根。因此，我们有：
\[
f(1) = 0 \quad \text{和} \quad f(-2) = 0
\]
让我们计算 $f(1)$：
\[
f(1) = 1^4 + 1^2 + a \cdot 1 + b = 1 + 1 + a + b = 2 + a + b
\]
将 $f(1)$ 设为 0，我们得到：
\[
2 + a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad a + b = -2 \quad \text{(方程 1)}
\]
接下来，让我们计算 $f(-2)$：
\[
f(-2) = (-2)^4 + (-2)^2 + a \cdot (-2) + b = 16 + 4 - 2a + b = 20 - 2a + b
\]
将 $f(-2)$ 设为 0，我们得到：
\[
20 - 2a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad -2a + b = -20 \quad \text{(方程 2)}
\]
现在我们有一个线性方程组：
1. $a + b = -2$
2. $-2a + b = -20$
为了解这个方程组，我们可以使用消元法。从方程 2 中减去方程 1：
\[
(-2a + b) - (a + b) = -20 - (-2)
\]
\[
-2a + b - a - b = -20 + 2
\]
\[
-3a = -18
\]
\[
a = 6
\]
现在将 $a = 6$ 代回方程 1：
\[
6 + b = -2
\]
\[
b = -2 - 6
\]
\[
b = -8
\]
因此，$a$ 和 $b$ 的值是：
\[
\boxed{6, -8}
\]