设 overparen(AB) 为圆周 x^2 + y^2 = 1 上自点 A(1,0) 到点 B(0,1) 的一段,则 int_(overparen{AB)} x , dx=A. int_(0)^(pi)/(2) x , dx = (pi^2)/(8)B. int_(0)^(pi)/(2) costheta sintheta , dtheta = (1)/(2)C. int_(0)^1 x , dx = (1)/(2)D. int_(1)^0 x , dx = -(1)/(2)

考查要点：本题主要考查曲线积分的计算，特别是对参数方程法的应用，以及积分方向的处理。

解题核心思路：

1. 参数化曲线：将圆弧段$\overparen{AB}$用参数$\theta$表示，利用单位圆的参数方程$x = \cos\theta$，$y = \sin\theta$，其中$\theta$从$0$到$\frac{\pi}{2}$。
2. 计算微分$dx$：通过参数方程求导，得到$dx = -\sin\theta \, d\theta$。
3. 代入积分并化简：将$x$和$dx$代入原积分，转化为关于$\theta$的定积分，利用三角恒等式或变量代换简化计算。
4. 注意积分方向：参数$\theta$的增加方向对应积分路径的方向，需确保上下限与路径一致。

破题关键点：

• 正确参数化曲线是基础，需明确$\theta$的范围。
• 符号处理是易错点，尤其是$dx$的负号和积分上下限的对应关系。
• 选项辨析需结合计算结果，注意积分结果的正负。

参数化曲线

将圆弧$\overparen{AB}$参数化为：
$x = \cos\theta, \quad y = \sin\theta, \quad \theta \in [0, \frac{\pi}{2}].$

计算微分$dx$

对$x = \cos\theta$求导得：
$dx = -\sin\theta \, d\theta.$

代入积分

原积分转化为：
$\int_{\overparen{AB}} x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \cdot (-\sin\theta) \, d\theta = -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \sin\theta \, d\theta.$

化简积分

利用三角恒等式$\cos\theta \sin\theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta)$：
$-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \sin\theta \, d\theta = -\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2\theta) \, d\theta.$
积分结果为：
$-\frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos(2\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} [-1 - 1] \right) = -\frac{1}{2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2}.$

变量代换验证

令$u = \cos\theta$，则当$\theta$从$0$到$\frac{\pi}{2}$时，$u$从$1$到$0$，且$du = -\sin\theta \, d\theta$。积分变为：
$-\int_{1}^{0} u \, du = \int_{0}^{1} u \, du = \frac{1}{2}.$
但原积分方向为从$A$到$B$，对应$u$从$1$到$0$，故结果为$-\frac{1}{2}$。