题目
2.解方程组 ) (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3) (x)_(1)+(x)_(2)-(x)_(3)-(x)_(4)=1 5(x)_(1)+5(x)_(2)-3(x)_(3)-4(x)_(4)=4 .
题目解答
答案
解析
步骤 1：将方程组写成增广矩阵形式
将方程组 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=0\\ {x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{3}-{x}_{4}=1.\\ 5{x}_{1}+5{x}_{2}-3{x}_{3}-4{x}_{4}=4 \end{matrix} \right.$ 写成增广矩阵形式，得到 $\left (\begin{matrix} 1& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& -1& -1& 1\\ 5& 5& -3& -4& 4\end{matrix} ) \right.$。
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，以化简矩阵。首先，将第二行减去第一行，第三行减去5倍的第一行，得到 $\left (\begin{matrix} 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& -2& -1& 1\\ 0& 0& -8& -4& 4\end{matrix} ) \right.$。然后，将第三行减去4倍的第二行，得到 $\left (\begin{matrix} 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& -2& -1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{matrix} ) \right.$。最后，将第二行除以-2，得到 $\left (\begin{matrix} 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1/2& -1/2\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{matrix} ) \right.$。
步骤 3：解方程组
从化简后的增广矩阵中，可以得到方程组 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=0\\ {x}_{3}+1/2{x}_{4}=-1/2 \end{matrix} \right.$。由于第三行全为0，所以方程组有无穷多解。令 ${x}_{4}=t$，则 ${x}_{3}=-1/2-1/2t$，${x}_{1}+{x}_{2}=-{x}_{3}=1/2+1/2t$。因此，方程组的解为 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}=1/2+1/2t-{x}_{2}\\ {x}_{2}={x}_{2}\\ {x}_{3}=-1/2-1/2t\\ {x}_{4}=t \end{matrix} \right.$，其中 ${x}_{2}$ 和 $t$ 为任意实数。
将方程组 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=0\\ {x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{3}-{x}_{4}=1.\\ 5{x}_{1}+5{x}_{2}-3{x}_{3}-4{x}_{4}=4 \end{matrix} \right.$ 写成增广矩阵形式，得到 $\left (\begin{matrix} 1& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& -1& -1& 1\\ 5& 5& -3& -4& 4\end{matrix} ) \right.$。
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵进行初等行变换，以化简矩阵。首先，将第二行减去第一行，第三行减去5倍的第一行，得到 $\left (\begin{matrix} 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& -2& -1& 1\\ 0& 0& -8& -4& 4\end{matrix} ) \right.$。然后，将第三行减去4倍的第二行，得到 $\left (\begin{matrix} 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& -2& -1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{matrix} ) \right.$。最后，将第二行除以-2，得到 $\left (\begin{matrix} 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1/2& -1/2\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{matrix} ) \right.$。
步骤 3：解方程组
从化简后的增广矩阵中，可以得到方程组 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=0\\ {x}_{3}+1/2{x}_{4}=-1/2 \end{matrix} \right.$。由于第三行全为0，所以方程组有无穷多解。令 ${x}_{4}=t$，则 ${x}_{3}=-1/2-1/2t$，${x}_{1}+{x}_{2}=-{x}_{3}=1/2+1/2t$。因此，方程组的解为 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}=1/2+1/2t-{x}_{2}\\ {x}_{2}={x}_{2}\\ {x}_{3}=-1/2-1/2t\\ {x}_{4}=t \end{matrix} \right.$，其中 ${x}_{2}$ 和 $t$ 为任意实数。