题目
P46[注1]类似地，可求解下列题目 已知当x→0时，f(x)=ln(1+x)/(1-x)-2ln(x+sqrt(1+x^2))是x的n阶无穷小，则n= __ A.1. B.2. C.3. D.4.
P46[注1]类似地，可求解下列题目 已知当x→0时，$f(x)=ln\frac{1+x}{1-x}-2ln(x+\sqrt{1+x^{2}})$是x的n阶无穷小，则n= __
A.1.
B.2.
C.3.
D.4.
A.1.
B.2.
C.3.
D.4.
题目解答
答案
将函数 $ f(x) = \ln \frac{1+x}{1-x} - 2 \ln (x + \sqrt{1+x^2}) $ 进行泰勒展开：
\[
\ln \frac{1+x}{1-x} \approx 2x + \frac{2x^3}{3} + O(x^5)
\]
\[
2 \ln (x + \sqrt{1+x^2}) \approx 2x - \frac{2x^3}{3} + O(x^5)
\]
相减得：
\[
f(x) \approx \left(2x + \frac{2x^3}{3}\right) - \left(2x - \frac{2x^3}{3}\right) = \frac{4x^3}{3} + O(x^5)
\]
主导项为 $ \frac{4x^3}{3} $，故 $ f(x) $ 是 $ x $ 的 3 阶无穷小。
答案：$\boxed{C}$