题目
6.设lim_(xtoinfty)((x+2a)/(x-a))^(x)/(3)=8，则常数a=____.
6.设$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+2a}{x-a}\right)^{\frac{x}{3}}=8$，则常数a=____.
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要找到常数 $a$ 的值，使得 $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2a}{x-a} \right)^{\frac{x}{3}} = 8$。让我们一步步来解决。
1. **重写表达式：**
首先，我们将表达式 $\left( \frac{x+2a}{x-a} \right)^{\frac{x}{3}}$ 重写成更方便的形式。注意到对于大的 $x$，$\frac{x+2a}{x-a}$ 接近于1。我们可以将 $\frac{x+2a}{x-a}$ 表达为：
\[
\frac{x+2a}{x-a} = 1 + \frac{3a}{x-a}
\]
因此，表达式变为：
\[
\left( \frac{x+2a}{x-a} \right)^{\frac{x}{3}} = \left( 1 + \frac{3a}{x-a} \right)^{\frac{x}{3}}
\]
2. **使用极限性质：**
我们知道从指数函数的极限性质，$\left(1 + \frac{y}{n}\right)^n \to e^y$ 当 $n \to \infty$。在我们的情况下，设 $y = 3a$ 和 $n = \frac{x}{3} \cdot \frac{3}{x-a} = \frac{x}{x-a}$。当 $x \to \infty$，$\frac{x}{x-a} \to 1$，所以我们可以近似：
\[
\left( 1 + \frac{3a}{x-a} \right)^{\frac{x}{3}} \approx \left( 1 + \frac{3a}{x-a} \right)^{\frac{x-a}{3} \cdot \frac{x}{x-a} \cdot \frac{3}{3}} = \left( \left( 1 + \frac{3a}{x-a} \right)^{\frac{x-a}{3a} \cdot 3a} \right)^{\frac{x}{x-a} \cdot \frac{3}{3}} \approx e^a \cdot 1 = e^a \ \text{as} \ x \to \infty
\]
3. **将极限设为8：**
根据题目，这个表达式的极限是8：
\[
e^a = 8
\]
为了解出 $a$，我们对两边取自然对数：
\[
\ln(e^a) = \ln(8) \implies a \ln(e) = \ln(8) \implies a = \ln(8)
\]
4. **简化 $a$：**
由于 $8 = 2^3$，我们有：
\[
\ln(8) = \ln(2^3) = 3 \ln(2)
\]
因此，$a$ 的值是：
\[
\boxed{3 \ln 2}
\]
解析
考查要点：本题主要考查极限的运算，特别是利用自然对数的底数$e$的极限表达式求解参数的值。
解题核心思路：
将给定的极限表达式转化为$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$的形式，通过对比指数部分和常数项，建立方程求解$a$的值。
破题关键点：
- 变形表达式：将分式$\frac{x+2a}{x-a}$改写为$1 + \frac{3a}{x-a}$，使其符合$\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x$的结构。
- 利用极限性质：通过取自然对数简化运算，结合极限$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$，建立方程求解$a$。
步骤1：变形分式
将分式$\frac{x+2a}{x-a}$改写为：
$\frac{x+2a}{x-a} = 1 + \frac{3a}{x-a}.$
步骤2：取自然对数
设原式为$L$，则$\ln L = \frac{x}{3} \cdot \ln\left(1 + \frac{3a}{x-a}\right)$。当$x \to \infty$时，$\frac{3a}{x-a} \approx \frac{3a}{x}$，利用泰勒展开$\ln(1+t) \approx t$（$t$趋近于0），得：
$\ln L \approx \frac{x}{3} \cdot \frac{3a}{x} = a.$
步骤3：建立方程
根据题意，$\lim_{x \to \infty} L = 8$，即$\ln L = \ln 8$，因此：
$a = \ln 8.$
步骤4：化简结果
由于$8 = 2^3$，故$\ln 8 = 3 \ln 2$，最终得：
$a = 3 \ln 2.$