*9.证明lim_((x,y)to(0,0))(xy)/(sqrt(x^2)+y^(2))=0.

为了证明 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$，我们需要使用极限的定义和一些不等式。下面是一个逐步的解题过程： 1. 理解极限定义: 我们需要证明对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta$ 时，有 $\left| \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right| < \epsilon$。 2. 使用不等式: 我们知道 $|xy| \leq \frac{x^2 + y^2}{2}$。这个不等式可以通过以下方式证明： $(|x| - |y|)^2 \geq 0 \implies x^2 - 2|xy| + y^2 \geq 0 \implies x^2 + y^2 \geq 2|xy| \implies |xy| \leq \frac{x^2 + y^2}{2}.$ 3. 应用不等式: 利用这个不等式，我们可以得到： $\left| \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right| = \frac{|xy|}{\sqrt{x^2 + y^2}} \leq \frac{\frac{x^2 + y^2}{2}}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}.$ 4. 选择 $\delta$: 现在，对于任意 $\epsilon > 0$，我们选择 $\delta = 2\epsilon$。当 $0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta$ 时，我们有： $\left| \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right| \leq \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2} < \frac{\delta}{2} = \frac{2\epsilon}{2} = \epsilon.$ 5. 结论: 因此，根据极限的定义，我们证明了 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$。 最终答案是 $\boxed{0}$。