题目
7.判断题sum_(n=1)^inftyu_(n)发散，sum_(n=1)^inftyv_(n)发散，则sum_(n=1)^infty(u_(n)-v_(n))也发散。A. 对B. 错
7.判断题
$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$发散，$\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}(u_{n}-v_{n})$也发散。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：定义发散级数
发散级数是指其部分和序列不收敛于有限值的级数。这意味着，对于发散级数，其部分和序列可以趋向于无穷大或振荡而不收敛。
步骤 2：考虑两个发散级数
考虑两个发散级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$。这两个级数的发散性意味着它们的部分和序列不收敛于有限值。
步骤 3：构造反例
为了判断命题是否成立，我们可以通过构造反例来验证。取 $u_n = \frac{1}{n}$ 和 $v_n = \frac{1}{n}$，则 \[ \sum_{n=1}^{\infty} (u_n - v_n) = \sum_{n=1}^{\infty} 0 = 0 \quad \text{(收敛)} \] 或取 $u_n = \frac{1}{n}$ 和 $v_n = \frac{1}{n+1}$，则 \[ \sum_{n=1}^{\infty} (u_n - v_n) = 1 \quad \text{(收敛)} \] 这些反例表明，即使 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都发散，$\sum_{n=1}^{\infty} (u_n - v_n)$ 也可能收敛。
发散级数是指其部分和序列不收敛于有限值的级数。这意味着，对于发散级数，其部分和序列可以趋向于无穷大或振荡而不收敛。
步骤 2：考虑两个发散级数
考虑两个发散级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$。这两个级数的发散性意味着它们的部分和序列不收敛于有限值。
步骤 3：构造反例
为了判断命题是否成立，我们可以通过构造反例来验证。取 $u_n = \frac{1}{n}$ 和 $v_n = \frac{1}{n}$，则 \[ \sum_{n=1}^{\infty} (u_n - v_n) = \sum_{n=1}^{\infty} 0 = 0 \quad \text{(收敛)} \] 或取 $u_n = \frac{1}{n}$ 和 $v_n = \frac{1}{n+1}$，则 \[ \sum_{n=1}^{\infty} (u_n - v_n) = 1 \quad \text{(收敛)} \] 这些反例表明，即使 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都发散，$\sum_{n=1}^{\infty} (u_n - v_n)$ 也可能收敛。