曲线 x=t, y=t^2, z=t^3 上, 使在该点处切线平行于平面 x+2y+z=4 的点的坐标为().A. (1,-1,1) 和 ((1)/(3), -(1)/(9), (1)/(27))B. (-1,1,-1) 和 (-(1)/(3), (1)/(9), -(1)/(27))C. (1,1,-1) 和 (-(1)/(6), (1)/(9), -(1)/(27))D. (-1,1,1) 和 (-(1)/(3), (1)/(9), -(1)/(9))

本题考查空间曲线的切线向量以及直线与平面平行的性质。解题的关键思路是先求出曲线的切线向量，再根据切线与平面平行的条件得到关于参数 $t$ 的方程，最后解出 $t$ 的值并代入曲线方程得到点的坐标。

1. 求曲线的切线向量：
   已知曲线的参数方程为 $x=t$，$y=t^2$，$z=t^3$。
   根据参数方程求导法则，分别对 $x$，$y$，$z$ 关于参数 $t$ 求导：
   • 对 $x=t$ 求导，根据求导公式 $(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得 $x^\prime(t)=(t)^\prime = 1$。
   • 对 $y=t^2$ 求导，可得 $y^\prime(t)=(t^2)^\prime = 2t$。
   • 对 $z=t^3$ 求导，可得 $z^\prime(t)=(t^3)^\prime = 3t^2$。
     所以曲线在任意点处的切线向量为 $\vec{s}=(x^\prime(t),y^\prime(t),z^\prime(t))=(1,2t,3t^2)$。
2. 求平面的法向量：
   对于平面方程 $Ax + By + Cz + D = 0$，其法向量为 $\vec{n}=(A,B,C)$。
   已知平面方程为 $x + 2y + z = 4$，即 $x + 2y + z - 4 = 0$，所以该平面的法向量为 $\vec{n}=(1,2,1)$。
3. 根据切线与平面平行的条件列方程：
   若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直。
   两个向量垂直的充要条件是它们的点积为 $0$，即 $\vec{s}\cdot\vec{n}=0$。
   已知 $\vec{s}=(1,2t,3t^2)$，$\vec{n}=(1,2,1)$，则 $\vec{s}\cdot\vec{n}=1\times1 + 2t\times2 + 3t^2\times1 = 0$，整理可得 $3t^2 + 4t + 1 = 0$。
4. 解方程求出 $t$ 的值：
   对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），其求根公式为 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
   在方程 $3t^2 + 4t + 1 = 0$ 中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 1$，代入求根公式可得：
   $\begin{align*} t&=\frac{-4\pm\sqrt{4^2 - 4\times3\times1}}{2\times3}\\ &=\frac{-4\pm\sqrt{16 - 12}}{6}\\ &=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{6}\\ &=\frac{-4\pm2}{6} \end{align*}$
   解得 $t_1=\frac{-4 + 2}{6}=-\frac{1}{3}$，$t_2=\frac{-4 - 2}{6}=-1$。
5. 将 $t$ 的值代入曲线方程求出点的坐标：
   • 当 $t = -1$ 时，$x = -1$，$y = (-1)^2 = 1$，$z = (-1)^3 = -1$，此时点的坐标为 $(-1,1,-1)$。
   • 当 $t = -\frac{1}{3}$ 时，$x = -\frac{1}{3}$，$y = (-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$，$z = (-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1}{27}$，此时点的坐标为 $(-\frac{1}{3},\frac{1}{9},-\frac{1}{27})$。