题目
50 填空（2分）设D是由不等式|x|+|y|≤1所确定的区域，则iint(|x|+y)dxdy=
50 填空（2分）设D是由不等式|x|+|y|≤1所确定的区域，则$\iint(|x|+y)dxdy=$
题目解答
答案
区域 $D$ 由不等式 $|x| + |y| \leq 1$ 确定，关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称。被积函数 $|x| + y$ 中，$y$ 是关于 $y$ 的奇函数，因此在对称区域上积分为零。只需计算 $|x|$ 的积分。
利用对称性，只考虑 $x \geq 0$ 的部分，积分区域为 $-1 + x \leq y \leq 1 - x$，$0 \leq x \leq 1$。计算得：
\[
\iint_D |x| \, dxdy = 2 \int_0^1 \int_{-1+x}^{1-x} x \, dy \, dx = 2 \int_0^1 x[2 - 2x] \, dx = 2 \int_0^1 (2x - 2x^2) \, dx = 2 \left[ x^2 - \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{2}{3}}$
解析
步骤 1：确定积分区域
区域 $D$ 由不等式 $|x| + |y| \leq 1$ 确定，这是一个关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称的菱形区域。在第一象限，$x$ 和 $y$ 都非负，因此 $x + y \leq 1$。在其他象限，根据绝对值的定义，可以得到相应的不等式。
步骤 2：利用对称性简化积分
被积函数 $|x| + y$ 中，$y$ 是关于 $y$ 的奇函数，因此在对称区域上积分为零。只需计算 $|x|$ 的积分。利用对称性，只考虑 $x \geq 0$ 的部分，积分区域为 $-1 + x \leq y \leq 1 - x$，$0 \leq x \leq 1$。
步骤 3：计算积分
计算 $|x|$ 的积分，利用对称性，只考虑 $x \geq 0$ 的部分，积分区域为 $-1 + x \leq y \leq 1 - x$，$0 \leq x \leq 1$。计算得： \[ \iint_D |x| \, dxdy = 2 \int_0^1 \int_{-1+x}^{1-x} x \, dy \, dx = 2 \int_0^1 x[2 - 2x] \, dx = 2 \int_0^1 (2x - 2x^2) \, dx = 2 \left[ x^2 - \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3} \]
区域 $D$ 由不等式 $|x| + |y| \leq 1$ 确定，这是一个关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称的菱形区域。在第一象限，$x$ 和 $y$ 都非负，因此 $x + y \leq 1$。在其他象限，根据绝对值的定义，可以得到相应的不等式。
步骤 2：利用对称性简化积分
被积函数 $|x| + y$ 中，$y$ 是关于 $y$ 的奇函数，因此在对称区域上积分为零。只需计算 $|x|$ 的积分。利用对称性，只考虑 $x \geq 0$ 的部分，积分区域为 $-1 + x \leq y \leq 1 - x$，$0 \leq x \leq 1$。
步骤 3：计算积分
计算 $|x|$ 的积分，利用对称性，只考虑 $x \geq 0$ 的部分，积分区域为 $-1 + x \leq y \leq 1 - x$，$0 \leq x \leq 1$。计算得： \[ \iint_D |x| \, dxdy = 2 \int_0^1 \int_{-1+x}^{1-x} x \, dy \, dx = 2 \int_0^1 x[2 - 2x] \, dx = 2 \int_0^1 (2x - 2x^2) \, dx = 2 \left[ x^2 - \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3} \]