[题目]二元函数 f(x,y)= ^2+{y)^2},(x,y)neq (0,0) 0,(x,y)=(0,0) . 在点-|||-(0,0)处 ()-|||-A.连续,偏导数存在-|||-B.连续,偏导数不存在-|||-C.不连续,偏导数存在-|||-D.不连续,偏导数不存在

考查要点：本题主要考查二元函数在某点的连续性和偏导数存在性的判断，需要结合定义进行分析。

解题核心思路：

1. 连续性：通过不同路径趋近于原点，判断函数极限是否存在且等于函数值。若存在不同路径导致极限不同，则函数不连续。
2. 偏导数存在性：直接利用偏导数的定义计算，若极限存在，则偏导数存在。

破题关键点：

• 连续性：沿直线路径 $y = kx$ 计算极限，发现极限值与 $k$ 相关，说明极限不存在，故不连续。
• 偏导数：分别对 $x$ 和 $y$ 应用定义，发现沿坐标轴方向的差商恒为 $0$，故偏导数存在。

连续性分析

函数在 $(0,0)$ 处的函数值为 $0$。考虑沿直线 $y = kx$ 趋近于原点：
$\lim_{x \to 0} f(x, kx) = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot kx}{x^2 + (kx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{kx^2}{x^2(1 + k^2)} = \frac{k}{1 + k^2}.$
由于不同 $k$ 值对应不同极限（例如 $k=0$ 时极限为 $0$，$k=1$ 时为 $\frac{1}{2}$），极限不存在，故函数在 $(0,0)$ 处不连续。

偏导数存在性分析

1. 对 $x$ 的偏导数：
   $f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x, 0) - f(0,0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0 - 0}{\Delta x} = 0.$
2. 对 $y$ 的偏导数：
   $f_y(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0, \Delta y) - f(0,0)}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{0 - 0}{\Delta y} = 0.$
   偏导数存在且均为 $0$。