在计算下列极限运算时,能使用罗必塔法则的是 ()-|||-[上册第18讲]-|||-A lim _(xarrow 0)dfrac (x+cos x)(x+sin x)-|||-B lim _(xarrow infty )dfrac (x)(sqrt {1+{x)^2}}-|||-lim _(xarrow e)dfrac ({x)^2sin dfrac (1)(x)}(sin x)-|||-D lim _(xarrow infty )dfrac ({x)^2cos x}({sin )^2x}

本题考查罗必塔法则的使用条件。罗必塔法则适用于求解“$\frac{0}{0}$”型或“$\frac{\infty}{\infty}$”型的极限。下面我们对每个选项逐一分析：

• 选项A：$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x+\cos x}{x+\sin x}$
  当$x \to 0$时，分子$x + \cos x$的极限为：
  $\lim_{x \to 0} (x + \cos x) = 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1$
  分母$x + \sin x$的极限为：
  $\lim_{x \to 0} (x + \sin x) = 0 + \sin 0 = 0 + 0 = 0$
  此时极限为“$\frac{1}{0}$”型，不满足罗必塔法则“$\frac{0}{0}$”型或“$\frac{\infty}{\infty}$”型的条件条件条件，所以不能使用罗必塔法则。
• 选项B：$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x}{\sqrt {1+{x}^{2}}}$
  当$x \to 0$时，分子$x$的极限为：
  $\lim_{x \to 0} x = 0$
  分母$\sqrt{1 + x^2}$的极限为：
  $\lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^2} = \sqrt{1 + 0^2} = 1$
  此时极限为“$\frac{0}{1}$”型，不满足罗必塔法则“$\frac{0}{0}$”型或“$\frac{\infty}{\infty}$”型的条件，所以不能使用罗必塔法则。
• 选项C：$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}}{\sin x}$
  当$x \to 0$时，分子$x^2\sin\frac{1}{x}$，因为$\sin\frac{1}{x}$是有界函数，即$\vert\sin\frac{1}{x}\vert\leqslant 1$，而$\lim_{x \to 0} x^2 = 0$，根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，可得$\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0$。
  分母$\sin x$的极限为：
  $\lim_{x \to 0} \sin x = \sin 0 = 0$
  此时极限为“$\frac{0}{0}$”型，满足罗必塔法则的条件，可以使用罗必塔法则。
• 选项D：$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\cos x}{{\sin }^{2}x}$
  当$x \to 0$时，分子$x^2\cos x$的极限为：
  $\lim_{x \to 0} x^2\cos x = 0^2\times\cos 0 = 0\times 1 = 0$
  分母$\sin^2 x$的极限为：
  $\lim_{x \to 0} \sin^2 x = (\sin 0)^2 = 0^2 = 0$
  虽然极限为“$\frac{0}{0}$”型，满足罗必塔法则的形式条件，但使用罗必塔法则后会使计算变得复杂，且该极限可利用等价无穷小替换来求解，$\sin x\sim x(x\to 0)$，则$\sin^2 x\sim x^2(x\to 0)$，所以$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\cos x}{{\sin }^{2}x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\cos x}{{x}^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\cos x = 1$，一般不优先使用罗必塔法则。