设 f(x)= sin x，要使 f(x)= sin x 能为某随机变量 X 的概率密度，则 X 的可能取值的区间是(）A. [pi, (3)/(2) pi]。B. [(3)/(2) pi, 2pi]。C. [0, pi]。D. [0, (1)/(2) pi]。

概率密度函数的两个核心条件：

1. 非负性：$f(x) \geq 0$ 在定义域内恒成立；
2. 归一性：$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = 1$，即函数在定义域上的积分等于1。

解题关键：

• 确定$\sin x \geq 0$的区间：$\sin x$在$[0, \pi]$内非负；
• 验证积分是否为1：通过计算各选项的积分，排除不满足归一性的选项。

选项分析

选项A：$[\pi, \frac{3}{2}\pi]$

• 非负性：$\sin x \leq 0$，不满足非负性，直接排除。

选项B：$[\frac{3}{2}\pi, 2\pi]$

• 非负性：$\sin x \leq 0$，不满足非负性，直接排除。

选项C：$[0, \pi]$

• 非负性：$\sin x \geq 0$，满足；
• 归一性：计算积分：
  $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2 \neq 1$
  不满足归一性，排除。

选项D：$[0, \frac{1}{2}\pi]$

• 非负性：$\sin x \geq 0$，满足；
• 归一性：计算积分：
  $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos \frac{\pi}{2}) - (-\cos 0) = 0 + 1 = 1$
  满足归一性，正确。