题目
下列说法不正确的是 A. 任一实对称矩阵必合同于一个对角矩阵 ; B. 两个同阶的实对称矩阵 A 和 B 合同的充要条件是 A 和 B 有相同的正负惯性指数 ; C. 两 个同阶的实对称矩阵 A 和 B 合同的充分条件是 A 和 B 相似 ; D. 两 个同阶的实对称矩阵 A 和 B 合同的充要条件是 A 和 B 的秩相等.
下列说法不正确的是
A. 任一实对称矩阵必合同于一个对角矩阵 ;
B. 两个同阶的实对称矩阵 A 和 B 合同的充要条件是 A 和 B 有相同的正负惯性指数 ;
C. 两 个同阶的实对称矩阵 A 和 B 合同的充分条件是 A 和 B 相似 ;
D. 两 个同阶的实对称矩阵 A 和 B 合同的充要条件是 A 和 B 的秩相等.
题目解答
答案
A.任一实对称矩阵必合同于一个对角矩阵 ;正确；
合同的充要条件是正负惯性指数相同，或者具有正惯性指数，负惯性指数，秩三者中两个相等的条件；
C.A 和 B 相似，则特征值相等，则正负惯性指数相同，正确；
故答案为D.
解析
步骤 1：理解实对称矩阵的性质
实对称矩阵具有实特征值和正交特征向量，因此可以对角化。这意味着任一实对称矩阵可以通过正交相似变换（即通过一个正交矩阵P）变为对角矩阵，即存在正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵。因此，选项A是正确的。
步骤 2：理解矩阵合同的定义和性质
两个矩阵A和B合同，意味着存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP=B。对于实对称矩阵，合同的充要条件是它们有相同的正负惯性指数，即它们的正特征值和负特征值的个数相同。因此，选项B是正确的。
步骤 3：理解矩阵相似和合同的关系
两个矩阵相似意味着它们有相同的特征值，因此它们的正负惯性指数相同，所以相似是合同的充分条件。因此，选项C是正确的。
步骤 4：理解矩阵合同的充要条件
两个矩阵合同的充要条件是它们有相同的正负惯性指数，而不是仅仅秩相等。因此，选项D是不正确的。
实对称矩阵具有实特征值和正交特征向量，因此可以对角化。这意味着任一实对称矩阵可以通过正交相似变换（即通过一个正交矩阵P）变为对角矩阵，即存在正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵。因此，选项A是正确的。
步骤 2：理解矩阵合同的定义和性质
两个矩阵A和B合同，意味着存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP=B。对于实对称矩阵，合同的充要条件是它们有相同的正负惯性指数，即它们的正特征值和负特征值的个数相同。因此，选项B是正确的。
步骤 3：理解矩阵相似和合同的关系
两个矩阵相似意味着它们有相同的特征值，因此它们的正负惯性指数相同，所以相似是合同的充分条件。因此，选项C是正确的。
步骤 4：理解矩阵合同的充要条件
两个矩阵合同的充要条件是它们有相同的正负惯性指数，而不是仅仅秩相等。因此，选项D是不正确的。