下面的选项哪个是错误的A. 单位矩阵与任何（同阶）矩阵可交换，即成立 AI = IA。B. 任何两个对角矩阵也都是可交换的。C. 一个矩阵与任何（同阶）矩阵可交换的当且仅当该矩阵为数量矩阵。D. 当 AB = AC，且 A neq O 时，则 B = C

本题主要考查矩阵的基本性质，包括矩阵的交换律、数量矩阵的性质以及矩阵乘法的消去律等知识点。解题思路是对每个选项所涉及的矩阵性质进行分析和验证。

• 选项A：
  • 设$A=(a_{ij})_{n\times n}$，单位矩阵$I=( \delta_{ij})_{n\times n}$，其中$\delta_{ij}=\begin{cases}1, & i = j\\0, & i\neq j\end{cases}$。
  • 计算$AI$：
    $AI$的$(i,j)$ - 元素为$\sum_{k = 1}^{n}a_{ik}\delta_{kj}$，当$k = j$时，$\delta_{kj}=1$，其他$k\neq j$时，$\delta_{kj}=0$，所以$\sum_{k = 1}^{n}a_{ik}\delta_{kj}=a_{ij}$，即$AI = A$。
  • 计算$IA$：
    $IA$的$(i,j)$ - 元素为$\sum_{k = 1}^{n}\delta_{ik}a_{kj}$，当$k = i$时，$\delta_{ik}=1$，其他$k\neq i$时，$\delta_{ik}=0$，所以$\sum_{k = 1}^{n}\delta_{ik}a_{kj}=a_{ij}$，即$IA = A$。
  • 因此$AI = IA$，选项A正确。
• 选项B：
  • 设$A=(a_{ii})_{n\times n}$，$B=(b_{ii})_{n\times n}$为两个对角矩阵，即非对角线上的元素都为$0$。
  • 计算$AB$：
    $AB$的$(i,j)$ - 元素为$\sum_{k = 1}^{n}a_{ik}b_{kj}$，当$i\neq j$时，$a_{ik}=0$（$k\neq i$）且$b_{kj}=0$（$k\neq j$），所以$AB$的非对角元素为$0$；当$i = j$时，$\sum_{k = 1}^{n}a_{ik}b_{kj}=a_{ii}b_{ii}$。
  • 计算$BA$：
    $BA$的$(i,j)$ - 元素为$\sum_{k = 1}^{n}b_{ik}a_{kj}$，当$i\neq j$时，$b_{ik}=0$（$k\neq i$）且$a_{kj}=0$（$k\neq j$），所以$BA$的非对角元素为$0$；当$i = j$时，$\sum_{k = 1}^{n}b_{ik}a_{kj}=b_{ii}a_{ii}$。
  • 由于数的乘法满足交换律$a_{ii}b_{ii}=b_{ii}a_{ii}$，所以$AB = BA$，选项B正确。
• 选项C：
  • 充分性：设$A = kI$（$k$为常数，$I$为单位矩阵），对于任意同阶矩阵$B$，由选项A可知$AI = IA$，则$AB=(kI)B=k(IB)=kB$，$BA = B(kI)=k(BI)=kB$，所以$AB = BA$。
  • 必要性：设矩阵$A=(a_{ij})_{n\times n}$与任意同阶矩阵$B$可交换，取$B = E_{pq}$（$E_{pq}$为$(p,q)$ - 位置元素为$1$，其余元素为$0$的矩阵），则$AE_{pq}=E_{pq}A$。
    $AE_{pq}$的$(i,j)$ - 元素为$\sum_{k = 1}^{n}a_{ik}\delta_{kq}$，当$k = q$时，$\delta_{kq}=1$，其他$k\neq q$时，$\delta_{kq}=0$，所以$AE_{pq}$的$(i,j)$ - 元素为$a_{iq}\delta_{jp}$；$E_{pq}A$的$(i,j)$ - 元素为$\sum_{k = 1}^{n}\delta_{ip}a_{kj}$，当$k = i$时，$\delta_{ip}=1$，其他$k\neq i$时，$\delta_{ip}=0$，所以$E_{pq}A$的$(i,j)$ - 元素为$a_{pj}\delta_{iq}$。
    由$AE_{pq}=E_{pq}A$可得$a_{iq}\delta_{jp}=a_{pj}\delta_{iq}$，当$i = j$时，$a_{ii}=a_{jj}$（$i,j = 1,2,\cdots,n$），即$A$的对角元素都相等；当$i\neq j$时，$a_{ij}=0$（$i\neq j$），所以$A$为数量矩阵。选项C正确。
• 选项D：
  • 矩阵乘法不满足消去律，可举反例：设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}$。
  • 计算$AB$：
    $AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times1 + 0\times1&1\times1+0\times1\\0\times1 + 0\times1&0\times1+0\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$。
  • 计算$AC$：
    $AC=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times1 + 0\times2&1\times1+0\times2\\0\times1 + 0\times2&0\times1+0\times2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$。
  • 此时$AB = AC$且$A\neq O$，但$B\neq C$，选项D错误。