题目
6.设X_(1),X_(2),...,X_(n)独立同分布且E(X_(1))=mu，对任意的varepsilon>0，则【】A. lim_(ntoinfty)P|(1)/(n)sum_{i=1)^nX_(i)-nmu|B. lim_(ntoinfty)P|(1)/(n)sum_{i=1)^nX_(i)-mu|C. lim_(ntoinfty)P|(1)/(n)sum_{i=1)^nX_(i)-nmu|D. lim_(ntoinfty)P|(1)/(n)sum_{i=1)^nX_(i)-mu|
6.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$独立同分布且$E(X_{1})=\mu$，对任意的$\varepsilon>0$，则【】
A. $\lim_{n\to\infty}P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right|<\varepsilon\right\}=1$
B. $\lim_{n\to\infty}P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}-\mu\right|<\varepsilon\right\}=1$
C. $\lim_{n\to\infty}P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right|<\varepsilon\right\}=0$
D. $\lim_{n\to\infty}P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}-\mu\right|<\varepsilon\right\}=0$
题目解答
答案
B. $\lim_{n\to\infty}P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}-\mu\right|<\varepsilon\right\}=1$
解析
步骤 1：理解大数定律
根据切比雪夫大数定律，对于独立同分布的随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$，当 $n \to \infty$ 时，样本均值 $\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 依概率收敛到期望值 $\mu$。即： \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{\left|\overline{X}_n - \mu\right| < \varepsilon\right\} = 1. \]
步骤 2：分析选项
- **选项A**：$\left|\overline{X}_n - n\mu\right| < \varepsilon$，期望值为 $\mu$，非 $n\mu$，错误。
- **选项B**：符合大数定律，正确。
- **选项C**：与大数定律相反，错误。
- **选项D**：概率趋近于0，与大数定律矛盾，错误。
根据切比雪夫大数定律，对于独立同分布的随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$，当 $n \to \infty$ 时，样本均值 $\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 依概率收敛到期望值 $\mu$。即： \[ \lim_{n \to \infty} P\left\{\left|\overline{X}_n - \mu\right| < \varepsilon\right\} = 1. \]
步骤 2：分析选项
- **选项A**：$\left|\overline{X}_n - n\mu\right| < \varepsilon$，期望值为 $\mu$，非 $n\mu$，错误。
- **选项B**：符合大数定律，正确。
- **选项C**：与大数定律相反，错误。
- **选项D**：概率趋近于0，与大数定律矛盾，错误。