题目

求下列式子的极限：lim _(xarrow +infty )((dfrac {pi )(2)-arctan x)}^dfrac (1{ln x)}-|||-__.

求下列式子的极限：

$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ .

题目解答

答案

$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{\arctan}x\right)^{\frac{1}{\ln x}}$

$=e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)}{\ln x}}$

$=e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{-\frac{1}{x^2+1}}{\frac{1}{x}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)}}$ （洛必达法则）

$=e^{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-\frac{x}{x^2+1}}{\frac{\pi}{2}-\arctan x}}$

$=e^{\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{\frac{1-x^2}{\left(1+x^2\right)^2}}{1}}{1+x^2}}$ （洛必达法则）

$=e^{\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1-x^2}{1+x^2}}$ （比较最高次数项的系数）

$=e^{-1}$

$=\frac{1}{e}$

∴ $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}=\frac{1}{e}$ .

解析

步骤 1：将原式转换为指数形式
原式可以写成 $e^{\ln{(\frac{\pi}{2}-\arctan x)}^{\frac{1}{\ln x}}}$，即 $e^{\frac{1}{\ln x}\ln{(\frac{\pi}{2}-\arctan x)}}$。
步骤 2：应用洛必达法则
由于当 $x\rightarrow +\infty$ 时，$\frac{\pi}{2}-\arctan x$ 趋向于 0，而 $\ln x$ 趋向于 $+\infty$，所以原式可以看作是 $\frac{0}{+\infty}$ 型的极限，可以应用洛必达法则。
步骤 3：计算导数
对分子 $\ln{(\frac{\pi}{2}-\arctan x)}$ 求导，得到 $-\frac{1}{1+x^2}$；对分母 $\ln x$ 求导，得到 $\frac{1}{x}$。
步骤 4：再次应用洛必达法则
由于分子分母的导数仍然满足洛必达法则的条件，再次应用洛必达法则。
步骤 5：计算最终结果
计算得到 $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-\frac{1}{1+x^2}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-x}{1+x^2} = -1$。
步骤 6：将结果代入指数形式
将 $-1$ 代入指数形式，得到 $e^{-1} = \frac{1}{e}$。