题目

12.设y=(x)/(1+x^2)，则dy|_(x=0)=_.

12.设$y=\frac{x}{1+x^{2}}$，则$dy|_{x=0}=\_.$

题目解答

答案

为了找到函数 $ y = \frac{x}{1 + x^2} $ 在 $ x = 0 $ 处的微分 $ dy $，我们需要遵循以下步骤： 1. 计算函数 $ y $ 的导数 $ \frac{dy}{dx} $。 2. 在 $ x = 0 $ 处评估导数。 3. 使用微分公式 $ dy = \frac{dy}{dx} \, dx $。 让我们从第一步开始。函数是 $ y = \frac{x}{1 + x^2} $。为了找到导数，我们使用商法则，该法则指出如果 $ y = \frac{u}{v} $，那么 $ \frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} $。这里，$ u = x $ 和 $ v = 1 + x^2 $。因此，$ \frac{du}{dx} = 1 $ 和 $ \frac{dv}{dx} = 2x $。 应用商法则，我们得到： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(1 + x^2) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} \] 接下来，我们在 $ x = 0 $ 处评估导数： \[ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \frac{1 - 0^2}{(1 + 0^2)^2} = \frac{1}{1} = 1 \] 现在，我们使用微分公式 $ dy = \frac{dy}{dx} \, dx $。在 $ x = 0 $ 处，我们有： \[ dy|_{x=0} = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} \, dx = 1 \, dx = dx \] 由于问题要求 $ dy|_{x=0} $ 的值，而 $ dx $ 是一个无穷小量，我们理解问题是在询问 $ x = 0 $ 处 $ dy $ 的系数，即 1。因此，答案是： \[ \boxed{dx} \]

解析

考查要点：本题主要考查函数在某一点的微分计算，涉及导数的求导法则（商法则）和微分的基本概念。

解题核心思路：

  1. 求导数：利用商法则对函数$y = \frac{x}{1+x^2}$求导，得到$\frac{dy}{dx}$。
  2. 代入$x=0$：将$x=0$代入导数表达式，计算出$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0}$。
  3. 计算微分：根据微分公式$dy = \frac{dy}{dx} \, dx$，代入导数值，得到$dy|_{x=0}$。

破题关键点：

  • 正确应用商法则：分子和分母的导数需分别计算，避免符号错误。
  • 代入$x=0$时的简化：注意分母平方后的结果为1，分子简化后为1，从而快速得出导数值。

步骤1：求导数

函数为$y = \frac{x}{1+x^2}$，设分子$u = x$，分母$v = 1+x^2$。根据商法则：
$\frac{dy}{dx} = \frac{v \cdot \frac{du}{dx} - u \cdot \frac{dv}{dx}}{v^2} = \frac{(1+x^2) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2}.$

步骤2：代入$x=0$

将$x=0$代入导数表达式：
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \frac{1 - 0^2}{(1+0^2)^2} = \frac{1}{1} = 1.$

步骤3：计算微分

根据微分公式$dy = \frac{dy}{dx} \, dx$，代入$x=0$处的导数值：
$dy|_{x=0} = 1 \cdot dx = dx.$