题目
4.设三元二次型f=x_(1)^2+4x_(2)^2+2x_(3)^2+2ax_(1)x_(2)+2x_(1)x_(3)正定，则a的取值范围是____
4.设三元二次型$f=x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+2ax_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}$正定，则a的取值范围是____
题目解答
答案
二次型对应的矩阵为：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & a & 1 \\
a & 4 & 0 \\
1 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\]
正定条件为所有顺序主子式大于0：
1. $ A_1 = 1 > 0 $
2. $ A_2 = 4 - a^2 > 0 \Rightarrow -2 < a < 2 $
3. $ A_3 = 4 - 2a^2 > 0 \Rightarrow -\sqrt{2} < a < \sqrt{2} $
取交集得：
\[
\boxed{-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}}
\]
解析
步骤 1：确定二次型对应的矩阵
二次型$f=x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+2ax_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}$对应的矩阵为：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算顺序主子式
1. 第一阶顺序主子式$A_1$：
\[ A_1 = 1 > 0 \]
2. 第二阶顺序主子式$A_2$：
\[ A_2 = \begin{vmatrix} 1 & a \\ a & 4 \end{vmatrix} = 4 - a^2 > 0 \Rightarrow -2 < a < 2 \]
3. 第三阶顺序主子式$A_3$：
\[ A_3 = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 2a^2 > 0 \Rightarrow -\sqrt{2} < a < \sqrt{2} \]
步骤 3：确定a的取值范围
取上述三个条件的交集，得到a的取值范围：
\[ -\sqrt{2} < a < \sqrt{2} \]
二次型$f=x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+2ax_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}$对应的矩阵为：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算顺序主子式
1. 第一阶顺序主子式$A_1$：
\[ A_1 = 1 > 0 \]
2. 第二阶顺序主子式$A_2$：
\[ A_2 = \begin{vmatrix} 1 & a \\ a & 4 \end{vmatrix} = 4 - a^2 > 0 \Rightarrow -2 < a < 2 \]
3. 第三阶顺序主子式$A_3$：
\[ A_3 = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 2a^2 > 0 \Rightarrow -\sqrt{2} < a < \sqrt{2} \]
步骤 3：确定a的取值范围
取上述三个条件的交集，得到a的取值范围：
\[ -\sqrt{2} < a < \sqrt{2} \]