18.求函数 (x)=(x)^dfrac (1{x)} 在区间 (0,+infty ) 内的最大值.

步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x) = x^{\frac{1}{x}}$，我们需要找到这个函数在区间 $(0, +\infty)$ 内的最大值。

步骤 2：取对数
为了方便求导，我们对函数取自然对数，得到 $\ln f(x) = \frac{1}{x} \ln x$。

步骤 3：求导
对 $\ln f(x)$ 求导，得到 $\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x^2} - \frac{\ln x}{x^2}$。因此，$f'(x) = f(x) \left( \frac{1}{x^2} - \frac{\ln x}{x^2} \right) = x^{\frac{1}{x}} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{\ln x}{x^2} \right)$。

步骤 4：求导数为零的点
令 $f'(x) = 0$，得到 $\frac{1}{x^2} - \frac{\ln x}{x^2} = 0$，即 $1 - \ln x = 0$，解得 $x = e$。

步骤 5：判断极值
由于 $f'(x)$ 在 $x = e$ 左侧为正，右侧为负，因此 $x = e$ 是函数的极大值点，也是区间 $(0, +\infty)$ 内的最大值点。

步骤 6：计算最大值
将 $x = e$ 代入原函数，得到 $f(e) = e^{\frac{1}{e}}$。