题目
设随机变量 X 的概率密度函数 f(x) 是偶函数，F(x) 是 X 的分布函数，a 是正实数，则下列选项正确的是(）.A. F(-a)=1-int_(0)^a f(x)dxB. F(-a)=F(a)C. F(-a)=(1)/(2)-int_(0)^a f(x)dxD. F(-a)=2F(a)-1
设随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 是偶函数，$F(x)$ 是 $X$ 的分布函数，$a$ 是正实数，则下列选项正确的是(）.
A. $F(-a)=1-\int_{0}^{a} f(x)dx$
B. $F(-a)=F(a)$
C. $F(-a)=\frac{1}{2}-\int_{0}^{a} f(x)dx$
D. $F(-a)=2F(a)-1$
题目解答
答案
C. $F(-a)=\frac{1}{2}-\int_{0}^{a} f(x)dx$
解析
步骤 1：理解概率密度函数和分布函数的定义
概率密度函数 $f(x)$ 描述了随机变量 $X$ 在某一点 $x$ 的概率密度，而分布函数 $F(x)$ 则是 $X$ 小于等于 $x$ 的累积概率，即 $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$。
步骤 2：利用偶函数的性质
由于 $f(x)$ 是偶函数，即 $f(-x) = f(x)$，则对于分布函数 $F(x)$，有 $F(-a) = \int_{-\infty}^{-a} f(t) \, dt$。利用偶函数的性质，可以将积分区间从 $-\infty$ 到 $-a$ 转换为从 $a$ 到 $+\infty$，即 $F(-a) = \int_a^{+\infty} f(u) \, du$。
步骤 3：计算 $F(-a)$
由于 $f(x)$ 是偶函数，$F(x)$ 在 $x=0$ 处的值为 $\frac{1}{2}$，即 $F(0) = \frac{1}{2}$。因此，$F(-a) = 1 - \int_{-\infty}^a f(u) \, du = 1 - \left( \frac{1}{2} + \int_0^a f(u) \, du \right) = \frac{1}{2} - \int_0^a f(u) \, du$。
概率密度函数 $f(x)$ 描述了随机变量 $X$ 在某一点 $x$ 的概率密度，而分布函数 $F(x)$ 则是 $X$ 小于等于 $x$ 的累积概率，即 $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$。
步骤 2：利用偶函数的性质
由于 $f(x)$ 是偶函数，即 $f(-x) = f(x)$，则对于分布函数 $F(x)$，有 $F(-a) = \int_{-\infty}^{-a} f(t) \, dt$。利用偶函数的性质，可以将积分区间从 $-\infty$ 到 $-a$ 转换为从 $a$ 到 $+\infty$，即 $F(-a) = \int_a^{+\infty} f(u) \, du$。
步骤 3：计算 $F(-a)$
由于 $f(x)$ 是偶函数，$F(x)$ 在 $x=0$ 处的值为 $\frac{1}{2}$，即 $F(0) = \frac{1}{2}$。因此，$F(-a) = 1 - \int_{-\infty}^a f(u) \, du = 1 - \left( \frac{1}{2} + \int_0^a f(u) \, du \right) = \frac{1}{2} - \int_0^a f(u) \, du$。