4.判断题判断题：函数列f_(n)(x)=x^n在xin[0,1]上一致收敛。A. 对B. 错

本题考查函数列一致收敛的概念及判断方法。解题思路是先求出函数列$f_{n}(x)=x^{n}$在$x\in[0,1]$上的极限函数$f(x)$，然后根据函数列一致收敛的定义，判断$\sup\limits_{x\in[0,1]}|f_{n}(x) - f(x)|$是否趋于$0$，若趋于$0$则一致收敛，否则不一致收敛。

步骤一：求极限函数$f(x)$

当$x\in[0,1)$时，$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x^{n}=0$；当$x = 1$时，$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x^{n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}1^{n}=1$。
所以极限函数$f(x)=\begin{cases}0, & x\in[0,1)\\1, & x = 1\end{cases}$。

步骤二：计算$\sup\limits_{x\in[0,1]}|f_{n}(x) - f(x)|$

当$x\in[0,1)$时，$\vert f_{n}(x)-f(x)\vert=\vert x^{n}-0\vert=x^{n}$；当$x = 1$时，$\vert f_{n}(x)-f(x)\vert=\vert 1^{n}-1\vert=0$。
对于函数$y = x^{n}$，$x\in[0,1)$，它在$[0,1)$上单调递增，所以$\sup\limits_{x\in[0,1)}x^{n}=\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}x^{n}=1$，即$\sup\limits_{x\in[0,1]}|f_{n}(x) - f(x)| = 1$。

步骤三：判断是否一致收敛

因为$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in[0,1]}|f_{n}(x) - f(x)|=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}1 = 1\neq0$，根据函数列一致收敛的定义可知，函数列$f_{n}(x)=x^{n}$在$x\in[0,1]$上不一致收敛。