题目
设X，Y都是非负的连续型随机变量，它们相互独立．(1)证明 Xlt Y =(int )_(0)^infty (F)_(x)(x)(f)_(Y)(x)dx-|||-其中Fx(x)是X的分布函数,fy(y y)是Y的概率密度.(1)证明 Xlt Y =(int )_(0)^infty (F)_(x)(x)(f)_(Y)(x)dx-|||-其中Fx(x)是X的分布函数,fy(y y)是Y的概率密度.
设X，Y都是非负的连续型随机变量，它们相互独立．
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 $P\{ X\lt Y\} ={\int }_{0}^{\infty }{F}_{x}(x){f}_{Y}(x)dx$
由于X和Y是相互独立的非负连续型随机变量，它们的联合概率密度函数为 $f(x,y)={f}_{x}(x){f}_{Y}(y)$。根据概率论中的定义，$P\{ X\lt Y\}$ 可以表示为联合概率密度函数在区域 $G=\{ (x,y)|x\gt 0,y\gt 0,y\gt x\}$ 上的二重积分，即
$P\{ X\lt Y\} ={\iint }_{G}f(x,y)dxdy$。
步骤 2：计算二重积分
将联合概率密度函数代入二重积分中，得到
$P\{ X\lt Y\} ={\iint }_{G}{f}_{x}(x){f}_{Y}(y)dxdy$。
由于 $G=\{ (x,y)|x\gt 0,y\gt 0,y\gt x\}$，可以将二重积分转换为先对x积分，再对y积分的形式，即
$P\{ X\lt Y\} ={\int }_{0}^{\infty }dy{\int }_{0}^{y}{f}_{x}(x){f}_{Y}(y)dx$。
步骤 3：将内层积分转换为分布函数
注意到内层积分 ${\int }_{0}^{y}{f}_{x}(x)dx$ 实际上是X的分布函数 ${F}_{x}(y)$，因此可以将二重积分进一步简化为
$P\{ X\lt Y\} ={\int }_{0}^{\infty }{F}_{x}(y){f}_{Y}(y)dy$。
步骤 4：将变量y替换为x
由于积分变量y是任意的，可以将y替换为x，得到
$P\{ X\lt Y\} ={\int }_{0}^{\infty }{F}_{x}(x){f}_{Y}(x)dx$。
步骤 5：计算 $P\{ X\lt Y\} $ 的具体值
对于给定的概率密度函数 ${f}_{X}(x)={\lambda }_{1}{e}^{-{\lambda }_{1}x}$ 和 ${f}_{Y}(y)={\lambda }_{2}{e}^{-{\lambda }_{2}y}$，可以计算出X的分布函数 ${F}_{x}(x)=1-{e}^{-{\lambda }_{1}x}$。将 ${F}_{x}(x)$ 和 ${f}_{Y}(y)$ 代入 $P\{ X\lt Y\} ={\int }_{0}^{\infty }{F}_{x}(x){f}_{Y}(x)dx$ 中，得到
$P\{ X\lt Y\} ={\int }_{0}^{\infty }(1-{e}^{-{\lambda }_{1}x}){\lambda }_{2}{e}^{-{\lambda }_{2}x}dx$。
步骤 6：计算积分
将积分拆分为两个部分，得到
$P\{ X\lt Y\} ={\int }_{0}^{\infty }{\lambda }_{2}{e}^{-{\lambda }_{2}x}dx-{\int }_{0}^{\infty }{\lambda }_{2}{e}^{-({\lambda }_{1}+{\lambda }_{2})x}dx$。
计算两个积分，得到
$P\{ X\lt Y\} =\dfrac {{\lambda }_{2}}{{\lambda }_{2}}-\dfrac {{\lambda }_{2}}{{\lambda }_{1}+{\lambda }_{2}}=\dfrac {{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{1}+{\lambda }_{2}}$。
由于X和Y是相互独立的非负连续型随机变量，它们的联合概率密度函数为 $f(x,y)={f}_{x}(x){f}_{Y}(y)$。根据概率论中的定义，$P\{ X\lt Y\}$ 可以表示为联合概率密度函数在区域 $G=\{ (x,y)|x\gt 0,y\gt 0,y\gt x\}$ 上的二重积分，即
$P\{ X\lt Y\} ={\iint }_{G}f(x,y)dxdy$。
步骤 2：计算二重积分
将联合概率密度函数代入二重积分中，得到
$P\{ X\lt Y\} ={\iint }_{G}{f}_{x}(x){f}_{Y}(y)dxdy$。
由于 $G=\{ (x,y)|x\gt 0,y\gt 0,y\gt x\}$，可以将二重积分转换为先对x积分，再对y积分的形式，即
$P\{ X\lt Y\} ={\int }_{0}^{\infty }dy{\int }_{0}^{y}{f}_{x}(x){f}_{Y}(y)dx$。
步骤 3：将内层积分转换为分布函数
注意到内层积分 ${\int }_{0}^{y}{f}_{x}(x)dx$ 实际上是X的分布函数 ${F}_{x}(y)$，因此可以将二重积分进一步简化为
$P\{ X\lt Y\} ={\int }_{0}^{\infty }{F}_{x}(y){f}_{Y}(y)dy$。
步骤 4：将变量y替换为x
由于积分变量y是任意的，可以将y替换为x，得到
$P\{ X\lt Y\} ={\int }_{0}^{\infty }{F}_{x}(x){f}_{Y}(x)dx$。
步骤 5：计算 $P\{ X\lt Y\} $ 的具体值
对于给定的概率密度函数 ${f}_{X}(x)={\lambda }_{1}{e}^{-{\lambda }_{1}x}$ 和 ${f}_{Y}(y)={\lambda }_{2}{e}^{-{\lambda }_{2}y}$，可以计算出X的分布函数 ${F}_{x}(x)=1-{e}^{-{\lambda }_{1}x}$。将 ${F}_{x}(x)$ 和 ${f}_{Y}(y)$ 代入 $P\{ X\lt Y\} ={\int }_{0}^{\infty }{F}_{x}(x){f}_{Y}(x)dx$ 中，得到
$P\{ X\lt Y\} ={\int }_{0}^{\infty }(1-{e}^{-{\lambda }_{1}x}){\lambda }_{2}{e}^{-{\lambda }_{2}x}dx$。
步骤 6：计算积分
将积分拆分为两个部分，得到
$P\{ X\lt Y\} ={\int }_{0}^{\infty }{\lambda }_{2}{e}^{-{\lambda }_{2}x}dx-{\int }_{0}^{\infty }{\lambda }_{2}{e}^{-({\lambda }_{1}+{\lambda }_{2})x}dx$。
计算两个积分，得到
$P\{ X\lt Y\} =\dfrac {{\lambda }_{2}}{{\lambda }_{2}}-\dfrac {{\lambda }_{2}}{{\lambda }_{1}+{\lambda }_{2}}=\dfrac {{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{1}+{\lambda }_{2}}$。