9、已知函数 y=f(x) 是单调可导的函数,经过点(2,3),函数 y=g(x) 是由 y=f(x) 确定的反函-|||-数.若 '(2)=4, 求g`(3).

考查要点：本题主要考查反函数的导数公式及其应用，需要学生掌握反函数的基本性质以及导数的计算方法。

解题核心思路：

1. 反函数的定义：若函数$f(x)$在某区间内单调可导，则其反函数$g(x)$满足$g(f(x))=x$且$f(g(x))=x$。
2. 反函数的导数公式：若$y=f(x)$在点$(a, b)$处可导且$f'(a) \neq 0$，则反函数$g(x)$在点$b$处的导数为$g'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}$。
3. 关键点对应：已知$f(2)=3$，则反函数$g(3)=2$，这是代入导数公式的前提。

破题关键：

• 明确反函数的导数公式，正确代入已知点的坐标和导数值。

步骤1：确定反函数在某点的值
已知$f(2)=3$，根据反函数的定义，$g(3)=2$。

步骤2：应用反函数的导数公式
反函数的导数公式为：
$g'(x) = \dfrac{1}{f'(g(x))}$
将$x=3$代入公式，得：
$g'(3) = \dfrac{1}{f'(g(3))}$

步骤3：代入已知条件
已知$g(3)=2$，且$f'(2)=4$，因此：
$g'(3) = \dfrac{1}{f'(2)} = \dfrac{1}{4}$