求微分方程 (dy)/(dx) + 2xy = 4x 的通解.

我们来求解下面这个一阶线性微分方程的通解：

$\frac{dy}{dx} + 2xy = 4x$

第一步：判断方程类型

这是一个一阶线性微分方程，标准形式为：

$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

与题目对比，可以看出：

• $ P(x) = 2x $
• $ Q(x) = 4x $

第二步：求积分因子（Integrating Factor）

积分因子 $ \mu(x) $ 的公式为：

$\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 2x\,dx}$

计算积分：

$\int 2x\,dx = x^2$

所以积分因子为：

$\mu(x) = e^{x^2}$

第三步：两边同乘积分因子

将原方程两边同时乘以 $ e^{x^2} $：

$e^{x^2} \frac{dy}{dx} + e^{x^2} \cdot 2x y = 4x e^{x^2}$

左边可以写成一个乘积的导数：

$\frac{d}{dx} \left( y \cdot e^{x^2} \right) = 4x e^{x^2}$

第四步：两边积分

对两边关于 $ x $ 积分：

$\int \frac{d}{dx} \left( y e^{x^2} \right) dx = \int 4x e^{x^2} dx$

左边积分后为：

$y e^{x^2}$

右边计算积分：
注意到 $ \int 4x e^{x^2} dx $，我们可以用换元法。
令 $ u = x^2 $，则 $ du = 2x dx $，所以：

$\int 4x e^{x^2} dx = 2 \int e^u du = 2e^u + C = 2e^{x^2} + C$

注意：这里我们先不加常数 $ C $，因为最后再加。

所以：

$y e^{x^2} = 2e^{x^2} + C$

第五步：解出 $ y $

两边同时除以 $ e^{x^2} $：

$y = 2 + C e^{-x^2}$

最终答案：

微分方程的通解为：

$\boxed{y = 2 + C e^{-x^2}}$

其中 $ C $ 为任意常数。