题目
不定积分的概念已知 int f(x)dx=F(x)+C，则 int F(x)f(x)dx= _ A. 1/2 F^2(x)+C B. 1/2 F(x)+CC. F^2(x)+D D. 1/2 F(x)+C
$$ 不定积分的概念已知 $\int f(x)dx=F(x)+C$，则 $\int F(x)f(x)dx= \\_$ $$
- A. $$ 1/2\ \ F^2(x)+C $$
- B. 1/2 F(x)+C
- C. $$ F^2(x)+D $$
- D. 1/2 F(x)+C
题目解答
答案
A
解析
步骤 1：理解已知条件
已知 $\int f(x)dx=F(x)+C$，表示 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，即 $F'(x)=f(x)$。
步骤 2：应用积分公式
根据已知条件，我们需要求解 $\int F(x)f(x)dx$。由于 $F'(x)=f(x)$，我们可以将 $f(x)$ 替换为 $F'(x)$，从而得到 $\int F(x)F'(x)dx$。
步骤 3：使用换元法
令 $u=F(x)$，则 $du=F'(x)dx$。因此，原积分可以写为 $\int udu$。根据积分公式，$\int udu=\frac{1}{2}u^2+C$。将 $u$ 替换回 $F(x)$，得到 $\int F(x)f(x)dx=\frac{1}{2}F^2(x)+C$。
已知 $\int f(x)dx=F(x)+C$，表示 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，即 $F'(x)=f(x)$。
步骤 2：应用积分公式
根据已知条件，我们需要求解 $\int F(x)f(x)dx$。由于 $F'(x)=f(x)$，我们可以将 $f(x)$ 替换为 $F'(x)$，从而得到 $\int F(x)F'(x)dx$。
步骤 3：使用换元法
令 $u=F(x)$，则 $du=F'(x)dx$。因此，原积分可以写为 $\int udu$。根据积分公式，$\int udu=\frac{1}{2}u^2+C$。将 $u$ 替换回 $F(x)$，得到 $\int F(x)f(x)dx=\frac{1}{2}F^2(x)+C$。