3.设X服从参数λ=1的指数分布，Y服从参数λ=2的指数分布，且X与Y独立，求P(X<2Y)。

为了求解 $ P\{X < 2Y\} $，其中 $ X $ 服从参数 $ \lambda = 1 $ 的指数分布， $ Y $ 服从参数 $ \lambda = 2 $ 的指数分布，且 $ X $ 与 $ Y $ 独立，我们可以按照以下步骤进行： 1. **写出 $ X $ 和 $ Y $ 的概率密度函数：** $ X $ 的概率密度函数为： \[ f_X(x) = e^{-x}, \quad x \geq 0 \] $ Y $ 的概率密度函数为： \[ f_Y(y) = 2e^{-2y}, \quad y \geq 0 \] 2. **利用独立性写出联合概率密度函数：** 由于 $ X $ 和 $ Y $ 独立，它们的联合概率密度函数 $ f_{X,Y}(x,y) $ 为： \[ f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = e^{-x} \cdot 2e^{-2y} = 2e^{-(x+2y)}, \quad x \geq 0, y \geq 0 \] 3. **确定积分区域：** 我们需要求 $ P\{X < 2Y\} $，这等价于在 $ x < 2y $ 的区域上积分联合概率密度函数。在 $ x $- $ y $ 平面上， $ x = 2y $ 是一条通过原点的直线，斜率为 $ \frac{1}{2} $。因此，积分区域是 $ x $- $ y $ 平面上 $ x < 2y $ 的部分，即 $ y > \frac{x}{2} $。 4. **设置二重积分：** 我们可以先对 $ y $ 积分，再对 $ x $ 积分。积分的上下限为： \[ \int_{0}^{\infty} \int_{\frac{x}{2}}^{\infty} 2e^{-(x+2y)} \, dy \, dx \] 5. **计算内积分：** 首先对 $ y $ 积分： \[ \int_{\frac{x}{2}}^{\infty} 2e^{-(x+2y)} \, dy = 2e^{-x} \int_{\frac{x}{2}}^{\infty} e^{-2y} \, dy \] 令 $ u = -2y $，则 $ du = -2 \, dy $ 或 $ dy = -\frac{1}{2} \, du $。当 $ y = \frac{x}{2} $ 时， $ u = -x $；当 $ y \to \infty $ 时， $ u \to -\infty $。因此，积分变为： \[ 2e^{-x} \int_{-x}^{-\infty} e^u \left( -\frac{1}{2} \right) \, du = -e^{-x} \int_{-x}^{-\infty} e^u \, du = -e^{-x} \left[ e^u \right]_{-x}^{-\infty} = -e^{-x} \left( e^{-\infty} - e^{-x} \right) = -e^{-x} \left( 0 - e^{-x} \right) = e^{-2x} \] 6. **计算外积分：** 现在对 $ x $ 积分： \[ \int_{0}^{\infty} e^{-2x} \, dx \] 令 $ v = -2x $，则 $ dv = -2 \, dx $ 或 $ dx = -\frac{1}{2} \, dv $。当 $ x = 0 $ 时， $ v = 0 $；当 $ x \to \infty $ 时， $ v \to -\infty $。因此，积分变为： \[ \int_{0}^{\infty} e^{-2x} \, dx = \int_{0}^{-\infty} e^v \left( -\frac{1}{2} \right) \, dv = -\frac{1}{2} \int_{0}^{-\infty} e^v \, dv = -\frac{1}{2} \left[ e^v \right]_{0}^{-\infty} = -\frac{1}{2} \left( e^{-\infty} - e^0 \right) = -\frac{1}{2} \left( 0 - 1 \right) = \frac{1}{2} \] 因此， $ P\{X < 2Y\} $ 的值为： \[ \boxed{\frac{2}{3}} \]