13.判断题(2分)定积分换元时不需要换积分限.（）A. 对B. 错

定积分换元法的核心要点在于变量替换时必须同步调整积分限。原积分限对应的是原变量的取值范围，换元后新变量的取值范围需通过原积分限计算得到。若不更换积分限，会导致积分上下限与新变量的实际范围不匹配，最终结果错误。

换元法的基本步骤

1. 变量替换：设$x = \phi(t)$，确定新变量$t$与原变量$x$的关系。
2. 计算微分：$dx = \phi'(t) dt$。
3. 转换积分限：
   • 当$x = a$时，对应$t = \alpha$（即$\alpha = \phi^{-1}(a)$）。
   • 当$x = b$时，对应$t = \beta$（即$\beta = \phi^{-1}(b)$）。
4. 改写积分：原积分$\int_{a}^{b} f(x) dx$变为$\int_{\alpha}^{\beta} f(\phi(t)) \phi'(t) dt$。

错误分析

若不更换积分限，积分变量$t$的取值范围仍按原$x$的范围计算，导致：

• 变量与积分限不匹配：新变量$t$的实际范围未被正确限制。
• 积分结果错误：积分区间超出原函数定义域或覆盖错误区域。